No. No tienen que hacerlo. Es simplemente convencional y conveniente. Por supuesto, convencional no significa nada. Pero todavía es conveniente.
Hablemos de vectores en un plano euclídeo (o espacio) con origen. Los vectores se usan mucho en mecánica clásica. Puede sumar y restar vectores, por ejemplo. Sin embargo, cuando se trata de espacios unidimensionales (líneas), algunas expresiones pueden considerarse una multiplicación. Pero, ¿qué sucede cuando estás en un espacio bidimensional o tridimensional? Por las necesidades de la física en la mecánica clásica, las personas encontraron tres tipos de multiplicaciones: un escalar por un vector que resulta en un vector escalado (de ahí el nombre escalar) (vg tiempo por velocidad es desplazamiento), un vector por un vector que resulta en un escalar (vg trabajo es fuerza por desplazamiento), o un vector multiplicado por un vector que da como resultado un vector (vg el par es brazo por fuerza). En la mecánica clásica, cada vez que se multiplican dos vectores que dan como resultado un escalar, el producto se comporta igual.
Si dibujamos los vectores en el origen de un plano euclidiano, entonces proyecta un vector [matemático] C [/ matemático] sobre el otro [matemático] A [/ matemático] y multiplica la magnitud de la proyección [matemática] C ‘[ / math] con la magnitud de [math] A [/ math]. No importa qué vector proyectó sobre el otro, el resultado es el mismo. Este producto se llama producto escalar o producto escalar [math] A \ cdot C [/ math].
Si ambos vectores están en ángulo recto (90 °), entonces la proyección de uno sobre el otro es solo un punto. No tiene magnitud. El producto escalar es cero. Orto es griego para la derecha, los vectores en ángulo recto se llaman ortogonales.
- ¿Cómo mostrarías eso: si [math] A = \ begin {bmatrix} 3 & -4 \\ 1 & -1 \ end {bmatrix} [/ math], [math] A ^ n = \ begin {bmatrix} 1 + 2n & -4n \\ n & 1 – 2n \ end {bmatrix} [/ math] para entero n?
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Ahora, convirtamos ese plano euclidiano en un plano cartesiano. Cada vector tiene un par de coordenadas. Si el vector [matemáticas] A [/ matemáticas] tiene coordenadas [matemáticas] (a, b) [/ matemáticas], y el vector [matemáticas] C [/ matemáticas] tiene coordenadas [matemáticas] (c, d) [/ matemáticas], entonces el producto [matemática] A \ cdot C = ac + bd [/ matemática]. Se puede demostrar que este es el equivalente a proyectar [matemáticas] C [/ matemáticas] sobre [matemáticas] A [/ matemáticas] y multiplicar la magnitud de [matemáticas] A [/ matemáticas] con la magnitud de la proyección de [matemáticas ] C [/ matemáticas].
Uno piensa en los vectores en un plano, es que cualquiera de los dos vectores I, J, que no son linealmente dependientes (vg [matemática] J = \ alpha I [/ matemática]), puede generar todos los demás vectores, por ejemplo [matemática] A = \ alpha I + \ beta J [/ math], mientras que [math] C = \ gamma I + \ delta J [/ math], para algunos valores reales [math] \ alpha, \ beta, \ gamma, \ delta [/ math ]
Ahora, tengamos dos vectores: [math] \ hat \ imath = (1,0) [/ math] y [math] \ hat \ jmath = (0,1) [/ math]. Es fácil observar dos cosas: [matemática] \ hat \ imath \ cdot A = a [/ matemática], [matemática] \ hat \ jmath \ cdot A = b [/ matemática], [matemática] \ hat \ imath \ cdot C = c [/ math], [math] \ hat \ jmath \ cdot C = d [/ math].
Del mismo modo, [matemática] A = a \ hat \ imath + b \ hat \ jmath [/ math] y [math] C = c \ hat \ imath + d \ hat \ jmath [/ math]. Esto significa que [math] \ hat \ imath [/ math] y [math] \ hat \ jmath [/ math] son dos vectores que nos permiten generar todos los vectores. Se llaman una base. También [math] \ hat \ imath \ cdot \ hat \ jmath = 0 [/ math], por lo que son una base ortogonal.
Podemos elegir alguna otra base, por ejemplo [matemática] I = (2,0) [/ matemática], [matemática] J = (1,1) [/ matemática], luego [matemática] A = \ frac {ab} 2I + bJ [/ matemática], mientras que [matemática] I \ cdot A = 2a [/ matemática] y [matemática] J \ cdot A = a + b [/ matemática]. No existe una relación fácil entre este producto escalar y los escalares utilizados en la base.
Otra elección de base, como [matemáticas] I = (1, -1), J = (1,1) [/ matemáticas], tenemos que [matemáticas] I \ cdot A = ab, J \ cdot A = a + b [/ matemática] y [matemática] A = \ frac {ab} 2I + \ frac {a + b} 2J [/ matemática]. En general, se puede demostrar que siempre que [matemáticas] I \ cdot J = 0 [/ matemáticas], entonces [matemáticas] A = \ frac {I \ cdot A} {|| I || ^ 2} I + \ frac { J \ cdot A} {|| J || ^ 2} J [/ math]. Conocemos los coeficientes de [matemática] I [/ matemática] y [matemática] J [/ matemática] para generar [matemática] A [/ matemática], haciendo el producto punto de A y cada miembro de la base.
Las bases ortogonales son bonitas. Y [math] \ hat \ imath [/ math], y [math] \ hat \ jmath [/ math] son particularmente agradables porque [math] || \ hat \ imath || = || \ hat \ jmath || = 1 [/ math], y porque están alineados con el eje convencional [math] x [/ math] y [math] y [/ math]. Se llaman base canónica: y base ortogonal y unitaria, alineadas con ejes convencionales.
Entonces, no importa si el eje [matemático] x [/ matemático] y el eje [matemático] y [/ matemático] no son ortogonales en el sentido euclidiano (90 °), simplemente los declaramos que, sea lo que sea que signifique , [matemática] (1,0) [/ matemática] y [matemática] (0,1) [/ matemática] son ortogonales en algún sentido algebraico.
Pero si mantenemos nuestro álgebra alineada con nuestra geometría, es conveniente.