¿Cómo mostrarías eso: si [math] A = \ begin {bmatrix} 3 & -4 \\ 1 & -1 \ end {bmatrix} [/ math], [math] A ^ n = \ begin {bmatrix} 1 + 2n & -4n \\ n & 1 – 2n \ end {bmatrix} [/ math] para entero n?

Answer 1

Bueno, como mencionaste, esta es definitivamente una forma de hacerlo.

Pero la mayoría de las veces, prefiero usar el Teorema de Cayley-Hamilton para hacer tales problemas.

Entonces, básicamente dice que la ecuación (cuadrática en este caso) obtenida para resolver los valores propios es satisfecha por la matriz misma.

Entonces, con algunos cálculos pequeños, puede llegar a la ecuación de la forma:

[matemáticas] (\ lambda – 1) ^ 2 = 0 [/ matemáticas]

Donde [math] \ lambda [/ math] representa el valor propio. En este caso, la matriz satisface

[matemáticas] (AI) ^ 2 = 0 [/ matemáticas].

Escriba la expresión como: [matemáticas] A ^ 2 = 2A-I [/ matemáticas]

Multiplique por A en ambos lados, para obtener el valor para [matemáticas] A ^ 3 [/ matemáticas] (reemplace [matemáticas] A ^ 2 [/ matemáticas] por su valor lineal arriba) Verá un patrón-

[matemáticas] A ^ n = nA- (n-1) I [/ matemáticas]

Cuál es la respuesta una vez que ingrese el valor para A.

Answer 2

Oh! Puedo ver una de mis matrices favoritas.

Olvidemos el teorema de Cayley-Hamilton porque implica demasiados cálculos. Olvidemos los patrones porque los patrones pueden no ayudar siempre (¡quién sabe!).

Seamos tan claros y demostremos esta maldita cosa:

Básicamente, puede ponerlo en una forma Jordan Normal que está dividiendo la matriz en una matriz de identidad (o múltiplo de matriz de identidad) y otra matriz que tiene una calidad única. En este escenario, la matriz N es singular (detN = 0) por lo que sus potencias más altas son cero, lo cual es una característica muy útil. Entonces, con la expansión binomial y 1/2 líneas de cálculo, realmente podemos probar el resultado deseado. Así es como hice esta hermosa prueba:

PD: Hoy no salí de la cama porque tenía mucho sueño, así que esto fue lo mejor que pude con mi cámara móvil. Sin embargo, si no comprende ningún paso, comente. Lo haré.

Gracias.

Editar: Habrá un 1 en lugar de 0, donde declaró el coeficiente del segundo término en la expansión. Eso fue solo un error de escritura tonto :-p

Answer 3

* A2A

Lo hice en 2009. Gracias por traer algunos recuerdos felices.

Teorema de Cayley-Hamilton: cada matriz es un cero de su propio polinomio característico.

---

Dado que

[matemáticas] A = \ begin {bmatrix} 3 & -4 \\ 1 & -1 \ end {bmatrix} \\\ text {Polinomio característico:} \\ | \ lambda IA ​​| = 0 \\\ implica \ begin { vmatrix} \ lambda-3 & -4 \\ 1 & \ lambda + 1 \ end {vmatrix} = 0 \\ \ implica (\ lambda-3) (\ lambda + 1) + 4 = 0 \\ \ implica \ lambda ^ 2-2 \ lambda-3 + 4 = 0 \\ \ implica (\ lambda-1) ^ 2 = 0 \ tag * {} [/ math]

Usando el teorema de Cayley Hamilton, me permite escribir la ecuación característica como …

[matemáticas] (AI) ^ 2 = 0 \ etiqueta * {} [/ matemáticas]

Expandirlo da …

[matemáticas] A ^ 2–2A + I = 0 \\ \ implica A ^ 2 = 2A-I \ etiqueta * {} [/ matemáticas]

Multiplicando ambos lados por [matemáticas] A [/ matemáticas] da …

[matemáticas] A ^ 3 = 2A ^ 2-AI \\ \ implica A ^ 3 = 2 (2A-I) -A \\ \ implica A ^ 3 = 4A-2I-A \\ \ implica A ^ 3 = 3A -2I \ tag * {} [/ math]

Multiplicar ambos lados por [matemáticas] A [/ matemáticas] da …

[matemáticas] A ^ 4 = 3A ^ 2–2AI \\ \ implica A ^ 4 = 3 (2A-I) -2A \\ \ implica A ^ 4 = 6A-3I-2A \\ \ implica A ^ 4 = 4A -3I \ tag * {} [/ math]

---

Notamos que [matemáticas] A ^ n [/ matemáticas] tiene el siguiente patrón …

[matemáticas] A ^ n = nA- (n-1) I \ tag * {} [/ matemáticas]

Ahora sustituya la matriz [matemáticas] A [/ matemáticas] en ella …

[matemáticas] \ begin {ecation} \ begin {split} A ^ n & = nA- (n-1) I \\ & = n \ begin {bmatrix} 3 & -4 \\ 1 & -1 \ end {bmatrix} – (n-1) \ begin {bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \ end {bmatrix} \\ & = \ begin {bmatrix} 3n & -4n \\ n & -n \ end {bmatrix} – \ begin {bmatrix} n-1 & 0 \\ 0 & n-1 \ end {bmatrix} \\ & = \ begin {bmatrix} 3n- (n-1) & -4n \\ n & -n- (n- 1) \ end {bmatrix} \\ & = \ begin {bmatrix} 2n + 1 & -4n \\ n & -2n + 1 \ end {bmatrix} \ end {split} \ end {ecuación} \ tag * {} [/matemáticas]

Ahí tienes, probado.

Answer 4

Se ve bien, excepto un error tipográfico. Usted escribió “Suponga que para entero [matemáticas] k [/ matemáticas], [matemáticas] A ^ n [/ matemáticas] es igual a …”. Debería ser [matemáticas] A ^ k [/ matemáticas].

De lo contrario, 10/10. Y yo soy un alumno difícil. 🙂

Estilísticamente, por cierto, tengo algunas sugerencias que aclararían un poco las cosas. Debe declarar por adelantado que va a utilizar el principio de inducción matemática. Lo sé, lo sé … por supuesto que vas a usar la inducción. Este problema probablemente aparece en un capítulo sobre inducción, los últimos diez problemas utilizaron inducción, etc.

Si tiene ganas de escribir para mayor claridad, vale la pena intercalar las palabras “inducción matemática” en algún lugar de las primeras dos líneas, antes de decir “Asumir para entero [matemáticas] k [/ matemáticas] …”. Así el lector está preparado y listo para esa suposición, no llega inesperadamente.

Pero, como dije, 10/10.

Answer 5

Dado que…

[matemáticas] A = \ begin {pmatrix} 3 & -4 \\ 1 & -1 \ end {pmatrix} [/ math]

Ahora [matemáticas] A ^ 2 = \ begin {pmatrix} 3 & -4 \\ 1 & -1 \ end {pmatrix}. \ Begin {pmatrix} 3 & -4 \\ 1 & -1 \ end {pmatrix} [/ math]

[matemáticas] = \ begin {pmatrix} 9–4 y -12 + 4 \\ 3–1 & -4 + 1 \ end {pmatrix} [/ math]

[math] = \ begin {pmatrix} 5 & -8 \\ 2 & -3 \ end {pmatrix} [/ math]

[math] = \ begin {pmatrix} 1 + 2.2 & -4.2 \\ 2 & 1–2.2 \ end {pmatrix} [/ math]

Nuevamente [matemáticas] \ begin {pmatrix} 15–8 y -20 + 8 \\ 6–3 y -8 + 3 \ end {pmatrix} [/ math]

[matemáticas] \ begin {pmatrix} 1 + 2.3 y -4.3 \\ 3 y 1–2.3 \ end {pmatrix} [/ math]

Esto muestra que la afirmación anterior es verdadera para n = 1,2,3.

Ahora, supongamos que …

La afirmación anterior es verdadera para n = m ..

Ahora [matemáticas] A ^ {m + 1} = \ begin {pmatrix} 1 + 2.m & -4.m \\ m & 1–2.m \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} 3 & -4 \\ 1 & – 1 \ end {pmatrix} [/ math]

[matemáticas] = \ begin {pmatrix} 3 + 6m-4m & -4–8m + 4m \\ 3m + 1–2m & -4m-1 + 2m \ end {pmatrix} [/ math]

[matemáticas] = \ begin {pmatrix} 3 + 2m & -4–4m \\ m + 1 & -1–2m \ end {pmatrix} [/ math]

[matemáticas] = \ begin {pmatrix} 1 + 2 (m + 1) & – 4 (m + 1) \\ m + 1 & 1–2 (m + 1) \ end {pmatrix} [/ math]

Esto muestra que el enunciado es verdadero para n = m + 1, por lo tanto, por “principio de inducción” concluyó que el enunciado anterior es verdadero para todos los números naturales.

Por lo tanto, [math] \ large \ boxed {A ^ n = \ begin {pmatrix} 1 + 2n & -4n \\ n & 1–2n \ end {pmatrix}} [/ math]

Answer 6

A2A

Bueno, ya sabes que [matemáticas] A ^ 1 = A = \ begin {bmatrix} 3 & -4 \\ 1 & -1 \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} 1 + 2 \ times 1 & -4 \ times 1 \\ 1 y 1-2 \ times 1 \ end {bmatrix} [/ math]

Supongamos que

[matemáticas] A ^ n = \ begin {bmatrix} 1 + 2n & -4n \\ n & 1-2n \ end {bmatrix} [/ math]

Entonces

[matemáticas] \ begin {align} A ^ {n + 1} & = A ^ n \ times A \\ & = \ begin {bmatrix} 1 + 2n & -4n \\ n & 1-2n \ end {bmatrix} \ times \ begin {bmatrix} 3 y -4 \\ 1 & -1 \ end {bmatrix} \\ & = \ begin {bmatrix} 3 (1 + 2n) – 4n y 3 (-4n) -4 (1- 2n) \\ (1 + 2n) -n & -4n – (1-2n) \ end {bmatrix} \\ & = \ begin {bmatrix} 3 + 6n-4n & -12n – 4 + 8n \\ 1+ 2n-n & -4n-1 + 2n \ end {bmatrix} \\ & = \ begin {bmatrix} 2n + 3 & -4n-4 \\ n + 1 & -2n-1 \ end {bmatrix} \ end { alinear} [/ math]

[matemáticas] A ^ {n + 1} = \ begin {bmatrix} 1 + 2 (n + 1) & -4 (n + 1) \\ n + 1 & 1-2 (n + 1) \ end {bmatrix }[/matemáticas]

Y tu estas listo.

Answer 7

A ^ 2 = {3,4; 1, -1} * {3, 4; 1, -1} = {5, -8; 2, -3} = {1 + 2 * 2, -4 * 2; 2,1–2 * 2}, tan cierto para n = 2

Supongamos que es cierto para n = k

A ^ (k + 1) = (A ^ k) * A = {1 + 2k, -4k; k, 1–2k} {3, -4; 1, -1} = {3 + 2k, -4k- 4; k + 1, -2k-1}

Answer 8

Bueno, ya tienes el camino, es bastante sencillo:

Supongo que puede verificar el caso base por sí mismo, luego puede suponer que [matemáticas] A ^ n [/ matemáticas] rinde a esta fórmula, que reemplazar n con n + 1 Y ver que [matemáticas] A ^ n \ cdot A [/ math] también satisface esto.

Answer 9

Aquí, el valor para el entero n es 1. Como,