Cómo derivar la solución general de ecuación de diferencia de primer orden (18.2)

¡Después de innumerables pruebas, yo, anónimo, finalmente encontré el método! Lo he escrito a continuación, para que cualquiera que quiera algo relacionado con él en el futuro pueda recibir un poco de ayuda.

Sin embargo, es posible que desee intercambiar cuidadosamente las variables. El folleto de mis notas principales usaba la notación [math] x_k [/ math], así que por eso el siguiente trabajo está escrito con [math] x_k [/ math] en lugar de [math] y_t [/ math]

La relación matemática para las variables en ecuaciones de diferencias de primer orden afines es:

[matemáticas] (x_ {k + 1} -x_ {k}) = a ^ k (x_ {k} -x_ {k + 1}) [/ matemáticas]

Esto implica que:

[matemáticas] (x_ {k + 1} -x_ {k}) = a ^ k (x_1-x_0) [/ matemáticas]

Pero:

[matemáticas] x_ {k + 1} = ax_k + b [/ matemáticas]

[matemáticas] x_1 = ax_0 + b [/ matemáticas]

Por lo tanto:

[matemáticas] ax_k + b-x_k = a ^ k (ax_0 + b-x_0) [/ matemáticas]

=>

[matemáticas] x_k (a-1) = a ^ {k + 1} x_0 + a ^ kb-a ^ kx_0-b [/ matemáticas]

[matemáticas] x_k (a-1) = a ^ kx_0 (a-1) + b (a ^ k-1) [/ matemáticas]

[matemáticas] x_k = a ^ kx_0 + b \ dfrac {a ^ k-1} {a-1} [/ matemáticas]