[matemáticas] (D ^ 2 + 1) y = x \ sin x [/ matemáticas]
Solución particular
[matemáticas] y = \ dfrac {1} {D ^ 2 + 1} x \ sin x [/ matemáticas]
= Parte imaginaria de [matemáticas] \ dfrac {1} {D ^ 2 + 1} xe ^ {ix} [/ matemáticas]
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= IP de [matemáticas] e ^ {ix} \ dfrac {1} {(D + i) ^ 2 + 1} x [/ matemáticas] porque [matemáticas] \ color {rojo} {f (D) e ^ {ax } g (x) = e ^ {ax} f (D + a) g (x)} [/ math]
= IP de [matemáticas] e ^ {ix} \ dfrac {1} {(D ^ 2 + 2Di)} x [/ matemáticas]
= IP de [matemáticas] e ^ {ix} \ dfrac {1} {2Di (1- \ frac {Di} {2})} x [/ matemáticas]
= IP de [matemáticas] e ^ {ix} \ dfrac {1} {2Di} (1+ \ frac {Di} {2} + \ frac {D ^ 2i ^ 2} {4} +…) x [/ matemáticas ]
= IP de [matemáticas] \ frac {1} {2} e ^ {ix} (\ frac {1} {Di} + \ frac {1} {2} + \ frac {Di} {4} + …) x [/matemáticas]
= IP de [matemáticas] \ frac {1} {2} (\ cos x + i \ sin x) (\ frac {-ix ^ 2} {2} + \ frac {x} {2} + \ frac {i } {4} +…) [/ matemáticas]
= [matemáticas] \ frac {1} {2} \ {\ frac {x \ sin x} {2} + \ frac {1-2x ^ 2} {4} \ cos x \} [/ matemáticas]
[matemáticas] = \ boxed {\ dfrac {x \ sin x} {4} + \ dfrac {1-2x ^ 2} {8} \ cos x} [/ math]
Aquí [math] \ dfrac {1} {8} \ cos x [/ math] es redundante ya que ya está cubierto en la función complementaria [math]. [/ Math]