¿Cuál es el propósito de las ecuaciones diferenciales?

Para mostrar cómo una variable está cambiando con respecto a otra.

Y si podemos expresar alguna cantidad como una ecuación diferencial, podemos integrarnos para encontrar trabajo para cuantificar el cambio total en un intervalo de tiempo, por ejemplo, en lo que varía.

Por ejemplo, si tuviera una ecuación diferencial que le dé la fórmula para la tasa de cambio de gas a través de una tubería que varía con el tiempo, podría calcular el total de gas entregado el mes pasado. Y Gazprom sabría qué cobrar :).

Así, la velocidad es la tasa de cambio de desplazamiento (posición o distancia en una dirección dada) con respecto al tiempo:

v = dx / dt

La aceleración es la tasa de cambio de velocidad con respecto al tiempo:

a = dv / dt

Si te dijeron que v = 10t:

Entonces sabrías que la velocidad inicial (cuando t = 0) fue 0. Entonces comienzas desde el reposo.

Y esa aceleración es la derivada de la velocidad wrt tiempo:

a = dv / dt = 10

Escribe la velocidad como una ecuación diferencial:

dv / dt = 10t

dv = 10t. dt

Integre ambos lados para obtener dist viajado S:

S = 10 (t ^ 2) / 2 + constante arbitraria C

= 5t ^ 2 + C

Pero si S = 10 metros cuando t = 0 cuando estamos comenzando:

5 = 0 + C

Entonces C = 10

Entonces la ecuación para la distancia es ahora:

S = 5 (t ^ 2) + 10

Esto podría corresponder a un objeto sostenido por una cuerda 10m debajo de una canasta de globos, o una plataforma que sobresale de un edificio alto. Cuando se soltó, aceleró hacia abajo a aproximadamente 10 m / s al cuadrado (en realidad 9.8, pero manteniéndolo simple). Es posible que haya visto una ecuación que relaciona S con 1/2. a . t al cuadrado en un libro de tablas de matemáticas para ingeniería o física.

S representa qué tan lejos está debajo de la canasta del globo en el tiempo = t, ignorando el efecto de la resistencia del aire. Si el objeto fuera un objeto aerodinámico pesado, podría caer bastante y adquirir una velocidad decente, antes de que la resistencia del aire fuera grande (proporcional al área de la sección transversal y al CUADRADO de la velocidad).

Espero que ayude.

Cualquier ecuación para el tiempo de aceleración wrt puede integrarse para dar velocidad en un momento particular.

Se puede integrar una ecuación de velocidad para dar la distancia recorrida, etc.

EDITAR corregido par de figuras. Tienes que tomar un largo descanso :).