¿Por qué es d (dy / dx) / dy = 0?

Answer 1

Oh, realmente no me gusta esta forma de hacer cálculos de variaciones, aunque es bastante estándar, supongo. La clave es que la notación se refiere a tomar una derivada con respecto a una determinada ranura, o simplemente mantener constante y ‘mientras se calcula la derivada con respecto a y, tal como Aaron Dunbrack dice a continuación. Pero esto no es realmente lo que está sucediendo. Realmente, está escribiendo [matemática] y (x) \ rightarrow y (x) + \ delta y (x) [/ math] para alguna función [math] \ delta y (x) [/ math].

Entonces,

(1) [matemáticas] \ delta \ int dx f (y, y ‘, x) = \ int dx \ left [f (y + \ delta y, y’ + (\ delta y) ‘, x) \ right] [ /matemáticas].

(Tenga en cuenta que agregué una integral faltante, ¡esto es importante!) Así que conecte esto para

[matemáticas] \ delta \ int dx f (y, y ‘, x) = \ int dx \ frac {y’ (x) \ delta y ‘(x)} {\ sqrt {1 + y’ (x) ^ 2 }}[/matemáticas].

Ahora se integra por partes para que ya no haya [math] \ delta y ‘(x) [/ math]. En este caso,

[matemáticas] \ delta \ int dx f (y, y ‘, x) = – \ int dx \ left (\ frac {y’ (x)} {\ sqrt {1 + y ‘(x) ^ 2}} \ derecha) \ delta y (x) + \ izquierda. \ frac {y ‘(x)} {\ sqrt {1 + y’ (x) ^ 2}} \ delta y \ right | _ {límite} [/ matemática]

El último término proviene de los límites del dominio sobre el que se está integrando. La belleza de esto es que le brinda (1) las condiciones de contorno que necesita aplicar en el último término, (2) las ecuaciones de equilibrio en el primer término y (3) funciona para funciones con más de una derivada. La desventaja es que equivale a no tomar el atajo ofrecido por las ecuaciones de Euler-Lagrange.

Entonces, ¿de dónde viene la notación derivada? Mire hacia atrás en la ecuación (1). Si directamente Taylor expande la función [matemática] f (y, y ‘, x) [/ matemática] entonces queda más claro que las derivadas que está tomando son con respecto a ranuras específicas de [matemática] f (y, y’ , x) [/ matemáticas].

Espero que esto ayude. Buena suerte.

Answer 2

No, tu primera afirmación es fundamentalmente defectuosa. No puede hacer malabarismos con operadores diferenciales como lo ha hecho. No son variables algebraicas comunes.

Entonces, antes que nada, los colores en la expresión no se cancelan. d (dy / dx) / dy = (d²y / dx²) (dx / dy).

Ahora, llegando a tu segundo punto. ¡¡Tipo!! ¡Has tomado una función específica! Esto implica que te has apartado de una generalización. Es decir, no puede hacer una declaración general (que se aplica a todas las funciones) porque ya ha tomado una función específica en este caso. Cuando dy / dx = y, significa y = e ^ (x + c).

Entonces, d²y / dx² = y

Por lo tanto, (d²y / dx²) (dx / dy) = y / y = 1

Esto rectifica tus errores.

¡Salud!

Answer 3

Entonces, esto se vuelve increíblemente complicado. No estoy seguro de entender completamente todos los escollos aquí, pero por lo general te quedarás ‘puesto’ en una función / variable y trabajarás en ese esquema.

Entonces, si ha definido y como una posible función de x, entonces y (x), entonces toma x como variable e y como función. Por lo tanto, tiene sentido diferenciar y (x) con respecto a x.

y (x) es, sin embargo, una función. Y aunque técnicamente puede ‘diferenciarse’ con respecto a las funciones, eso es diferente. Normalmente, si fuera a diferenciarse de algo que es una función (que tiende a suceder cuando cambia las variables), simplemente aplica la regla de la cadena, por lo que

[matemáticas] \ frac {d} {dy} = \ frac {dx} {dy} \ frac {d} {dx} [/ matemáticas]

El primer término en el RHS todavía parece extraño, porque si considera que x es una variable yy la función, obtiene resultados extraños. Sin embargo, resulta que puede (en la mayoría de los casos) suponer que [math] \ frac {dx} {dy} = \ frac {1} {\ frac {dy} {dx}} [/ math].

En cuanto al ejemplo de su libro, no estoy seguro de qué curso es este, pero en física es muy común trabajar con esos casos. Si [math] f (y, y ‘, x) = \ sqrt {1 + y’ ^ 2)} [/ math], entonces diferenciar eso con respecto a y debería dar 0. Después de todo, esa función f no depende en y en absoluto. Solo en y ‘.

Pero, dices, y ‘depende completamente de y. Porque si sabes y, y ‘está completamente definido.

Y estaría en lo cierto, pero por alguna razón, nunca he entendido completamente que en este caso se le permite tratar tanto y como y ‘como variables independientes. Estás hablando de un tratamiento ‘fuera de la concha’ en este caso. Realizar las diferenciaciones correctas tiende a proporcionarle una ecuación diferencial que expresa y ‘en términos de y, etc.

Answer 4

En ese contexto específico, cálculo de variaciones, las cosas son un poco diferentes. Con lo que realmente está trabajando es f (a, b, c) y dice df / da = 0, y luego conecta y, y ‘, x en las ranuras para a, b y c. Entonces, en CoV, toma parciales de su función con respecto a las ranuras, y * luego * (justo antes de tomar el tiempo de derivación total wrt en las ecuaciones EL) completa esas ranuras.

Answer 5

Puede que no sea cierto. Por ejemplo, suponga que y = x ^ 2. Entonces, dy = 2x.dx, dx / dy = 1 / 2x.

ahora, d (dy / dx) / dy = d (2x) / dy = 2 dx / dy = 1 / x = no cero, a menos que x = y = 0.