Es el método más básico bajo el sol, pero también perfecto para ilustraciones y para probar cosas.
Digamos que tiene el problema del valor inicial:
[matemática] y ‘= f (y), y (0) = y_0 \ tag {1} [/ matemática]
Sabemos que [math] y (0) = y_0 [/ math], por lo que si podemos encontrar una manera de pasar de 0 a algún paso h, hemos terminado. Tenga en cuenta que cuando h es pequeño,
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[matemática] y ‘(0) \ simeq \ frac {y (h) -y (0)} {h}. \ tag {2} [/ matemática]
Usando eso con (1) y reorganizando
[matemáticas] y (h) \ simeq y (0) + h \ cdot f (y (0)). \ tag {3} [/ matemáticas]
Por lo tanto, se puede dar una aproximación al valor de [matemáticas] y (h) [/ matemáticas] si podemos evaluar [matemáticas] f (y) [/ matemáticas] y saber [matemáticas] y (0). [/ Matemáticas ] Una vez que tenemos [math] y (h) [/ math], podemos continuar a 2h, 3h, etc. Formalmente, el método puede escribirse como
[matemáticas] y_ {n + 1} = y_ {n} + h \ cdot f (y_ {n}), y_ {0} = y (0). \ tag {4} [/ matemáticas]
Al igual que con la mayoría de los métodos numéricos, hay muchas formas de derivar Euler. Cada camino enseña cosas diferentes. Por ejemplo, si comenzamos desde (1) nuevamente pero, en lugar de aproximarnos a la derivada, integramos la ecuación sobre [0, h], obtenemos
[matemáticas] \ int_ {0} ^ {h} y’dx = y (h) -y (0) = \ int_ {0} ^ {h} f (y (x)) dx. \ tag {5} [ /matemáticas]
Reorganizando la ecuación. (5)
[matemáticas] y (h) = y (0) + \ int_ {0} ^ {h} f (y (x)) dx = y (0) + I. \ tag {6} [/ matemáticas]
Para proceder, tenemos que estimar la integral en (6) de alguna manera. Si usamos la regla del punto final izquierdo, [math] I \ simeq hf (y (0)). [/ Math] Esto nos da el método explícito de Euler nuevamente. Con la regla del punto final derecho, obtenemos [math] I \ simeq hf (y (h)) [/ math], que luego proporciona el método numérico:
[matemáticas] y_ {n + 1} = y_ {n} + hf (y_ {n + 1}). \ tag {7} [/ matemáticas]
Eq. (7) es el método implícito de Euler; el lado derecho depende de la cantidad desconocida [matemática] y_ {n + 1}. [/ matemática]
Y, por supuesto, otras aproximaciones de la integral en (5) darán más métodos numéricos, pero no todos son interesantes.