Cómo resolver [matemáticas] x ^ 2 + x \ izquierda (\ dfrac {dy} {dx} \ derecha) ^ 2 = y \ dfrac {dy} {dx} [/ matemáticas] para [matemáticas] y [/ matemáticas]

Answer 1

Este DE contiene [math] \ dfrac {dy} {dx} [/ math] en mayor grado, así que por simplicidad supongamos [math] \ dfrac {dy} {dx} = p [/ math], entonces el DE será de la forma [matemáticas] f (x, y, p) = 0 [/ matemáticas] ..

entonces tendremos

[matemáticas] x ^ {2} + p ^ {2} x = py, \ implica y = \ dfrac {x ^ {2}} {p} + px \ cdots (1) [/ matemáticas]

diferenciando esto con respecto a x ..

[matemáticas] \ implica \ dfrac {dy} {dx} = \ dfrac {\ left (p.2x-x ^ {2}. \ dfrac {dp} {dx} \ right)} {p ^ {2}} + \ left (p + x. \ dfrac {dp} {dx} \ right) [/ math]

[matemáticas] \ implica \ dfrac {\ left (p.2x-x ^ {2}. \ dfrac {dp} {dx} \ right)} {p ^ {2}} = – x. \ dfrac {dp} { dx} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica 2p-x. \ dfrac {dp} {dx} = – p ^ {2}. \ dfrac {dp} {dx} \ implica 2p. \ dfrac {dx} {dp} -x = -p ^ {2} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ color {rojo} {\ implica \ dfrac {dx} {dp} – \ dfrac {x} {2p} = – \ dfrac {p} {2}} [/ matemáticas]

por lo que se convierte en un DE lineal, y el factor integrador (IF) será

[matemática] \ grande IF = e ^ {\ displaystyle \ int \ dfrac {-1} {2p} .dp} = p ^ {- 1/2} [/ matemática]

[matemáticas] \ implica xp ^ {- 1/2} = \ displaystyle \ int _ {} ^ {} – (p / 2). \ dfrac {1} {\ sqrt {p}} dp = – (1/3) .p ^ {3/2} + C [/ matemáticas]

[math] \ implica \ boxed {x = – (1/3) p ^ {2} + C. \ sqrt {p}} [/ math]

ahora pon esto en la ecuación (1) y tendremos el valor de y, entonces

[matemáticas] \ boxed {y = \ dfrac {\ left [C. \ sqrt {p} – (1/3) .p ^ {2} \ right] ^ {2}} {p} + p. \ left [ C. \ sqrt {p} – (1/3) .p ^ {2} \ right]} [/ math]

Esta es la solución que se me ocurrió y no sé si he cometido algunos errores en alguna parte, pero este es el enfoque básico para resolver esto, así que échale un vistazo completo y avísame si algo está mal