¿Existe una relación entre las soluciones de la ecuación diferencial y ” – y = 0 y la función del coseno hiperbólico?

Answer 1

¿Existe una relación entre las soluciones de la ecuación diferencial y ” – y = 0 y la función del coseno hiperbólico?

Sí … y también la función seno hiperbólica.

Esencialmente ha notado los siguientes resultados paralelos:

• La solución general a [matemáticas] y ” + y = 0 [/ matemáticas] se puede escribir como
• [matemáticas] y = A \ cos x + B \ sen x [/ matemáticas], o
• (menos comúnmente) como [matemáticas] C [/ matemáticas] [matemáticas] e ^ {ix} + De ^ {- ix} [/ matemáticas].
• La solución general a [matemáticas] y ” – y = 0 [/ matemáticas] se puede escribir como
• [matemáticas] y = A \ cosh x + B \ sinh x [/ matemáticas], o
• ( más comúnmente) como [matemáticas] Ce ^ {x} + De ^ {- x} [/ matemáticas].

Eso está perfectamente de acuerdo con las ecuaciones auxiliares para las dos EDO: [matemática] y ” + y = 0 [/ matemática] tiene la ecuación auxiliar [matemática] r ^ 2 + 1 = 0 [/ matemática] con raíces [matemática] \ pm i [/ math], mientras que [math] y ” – y = 0 [/ math] tiene una ecuación auxiliar [math] r ^ 2-1 = 0 [/ math] con raíces [math] \ pm 1 [/ math ]

También está relacionado con el hecho de que [math] \ sin (x) = -i \ sinh (ix) [/ math] y [math] \ cos (x) = – \ cosh (ix) [/ math].

Answer 2

Por supuesto!

De hecho, [math] \ operatorname {Vect} (x \ to e ^ x, x \ to e ^ {- x}) = \ operatorname {Vect} (\ cosh, \ sinh) [/ math], donde Vect significa “Todas las combinaciones lineales de __”.

Para probar esto, observe que [math] \ operatorname {Vect} (x \ to e ^ {ix}, x \ to e ^ {- ix}) = \ operatorname {Vect} (\ cos, \ sin) [/ math ], y que la correspondencia exacta está dada por las fórmulas de Euler.

Del mismo modo, dado que [math] \ cosh (x) = \ frac {e ^ x + e ^ {- x}} {2} [/ math] y que [math] \ sinh (x) = frac {e ^ xe ^ {-x}} {2} [/ math], puedes elegir arbitrariamente una forma u otra, ya que son equivalentes

Answer 3

¿Qué hay para explicar aquí? La ecuación solicita funciones que son sus propias segundas derivadas, cosh y sinh son las derivadas de cada una, por lo que ambas son soluciones.