Si ha tomado álgebra lineal, sabe que una EDO de orden [matemática] n \ ge2 [/ matemática] es realmente solo una EDO de orden 1 con matrices.
Si no lo ha hecho, tendré que pedirle que confíe en mí, ya que no podrá comprobar la unicidad de la solución que le voy a dar.
Un gran truco para esto es asumir la forma [math] y (t) = Ce ^ {i \ omega t} [/ math] donde [math] C \ in \ mathbb C [/ math] y [math] \ omega \ in \ mathbb C \ setminus {i \ mathbb R} [/ math]. Si [math] \ omega \ [/ math] fuera un número imaginario simple, y sería un exponencial (real) con una constante compleja al frente. Tendrás que tomar la parte real si solo quieres soluciones reales. (Tenga cuidado, [math] \ Re (zz ‘) \ not = \ Re (z) \ Re (z’) [/ math])
Nota: este truco se usa con frecuencia en física, particularmente para la propagación de ondas electromagnéticas.
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Inyecte este formulario en su ODE: [matemática] \ left (- \ omega ^ 2 + i \ omega b + c \ right) Ce ^ {i \ omega t} = 0 [/ math], que podemos simplificar mediante [math ] e ^ {i \ omega t} = 0 [/ math] porque nunca es 0. Si fuera, en algún momento, 0, tendríamos que dividir el intervalo de estudio en 2.
Suponiendo que [math] C \ not = 0 [/ math], obtenemos [math] \ omega ^ 2-i \ omega b -c = 0 [/ math], que es una ecuación cuadrática antigua simple. La condición que esperaba proviene del discriminante de esta ecuación:
- Si [math] -b ^ 2 + 4c = 0 [/ math], entonces [math] \ omega = \ frac {ib} {2} [/ math] que es imposible considerando la suposición que hicimos sobre [math] \ omega .[/matemáticas]
- Si [math] -b ^ 2 + 4c \ lt0 [/ math], entonces [math] \ omega = \ frac {ib \ pm i \ sqrt {b ^ 2-4c}} {2} [/ math], que De nuevo, es imposible.
- Si [math] -b ^ 2 + 4c \ gt0 [/ math], entonces [math] \ omega = \ frac {ib \ pm \ sqrt {4c-b ^ 2}} {2} [/ math], que es Lo que estábamos buscando. Tenga en cuenta que, dado que [math] e ^ {a + ib} = e ^ ae ^ {ib} [/ math], su solución se reescribe como: [math] y (t) = Ce ^ {\ frac {-bt} { 2}} e ^ {\ pm i \ frac {\ sqrt {4c-b ^ 2}} {2} t} [/ math]
Por lo tanto, tenemos el siguiente resultado:
Si el movimiento es una onda, entonces [matemáticas] b ^ 2-4c \ lt0 [/ matemáticas] y las soluciones reales son:
[matemáticas] \ {y | y ” + por ‘+ cy = 0 \} = \ {t \ to e ^ {- b / 2} (C_1 \ cos ({\ sqrt {c- \ frac {b ^ 2 } {4}} t) + C_2 \ sin (\ sqrt {c- \ frac {b ^ 2} {4}} t}) | (C_1, C_2) \ in \ mathbb R ^ 2 \} [/ math]
Necesitamos lo recíproco, ¿no? Bueno, es álgebra lineal desde este punto … Pero (confía en mí) esta condición es suficiente, y el movimiento es una esposa iff [matemáticas] b ^ 2-4c \ lt0 [/ matemáticas]