En general, ¿se puede describir algún proceso / fenómeno dinámico mediante ecuaciones diferenciales?

Answer 1

Respuesta corta: sí

Respuesta larga :

Espero que sepas la expansión de Taylor. Pero eso es para ecuaciones no lineales. No involucran derivados con el tiempo. Pero espero que pueda visualizar el truncamiento que conduce al problema de precisión. Pero lo mismo podría aplicarse con el tiempo también. La derivada de tiempo que está buscando para describir un fenómeno puede ser de orden finito y el sistema puede ser de orden infinito. Puedo darte un ejemplo de un sistema de orden infinito que no puedes describir usando solo una derivada de tiempo: un retraso ideal. Necesita un número infinito de derivadas para modelarlo. En ingeniería eléctrica, utilizamos sistemas de primer y segundo orden para aproximar el retraso de tiempo. Incluso se modela un retraso ideal usando una cascada de infinitas piezas de secciones LC que es un retraso de segundo orden. Suponiendo que nuestra constante de tiempo esté dividida entre ny hay n secciones para modelar el retraso, veremos que a medida que n se aproxima al infinito, nos acercaremos al retraso ideal. Y esto es similar al problema del interés compuesto en el que Bernoulli trabajó para encontrar el límite x-> infinito (1 + 1 / x) ^ x = e. De hecho, las transformadas de Laplace y Fourier nos dan el coeficiente de la ecuación diferencial de enésimo orden. Los filtros están diseñados en base a ecuaciones diferenciales desarrolladas por Chebyshev y Butterworth. ¿Alguna vez te has preguntado qué es la cadena alimentaria y cómo se sostiene el sistema? Existe un modelo de ecuación diferencial para el ciclo depredador de presas. Existe una ecuación similar para describir una historia de amor (http://ai.stanford.edu/~rajatr/a…) entre romeo y julieta. Pero este es el pequeño mundo de la ecuación diferencial lineal. Existe un mundo de ecuaciones diferenciales no lineales que incluso puede tener los coeficientes de las derivadas en sí mismas dependientes del tiempo. Un péndulo simple es un oscilador no lineal. Nuestro corazón es un oscilador no lineal. Las personas aprenden los planos de fase y las teorías de la bifurcación para comprender dichos sistemas, ya que en su mayoría no pueden resolverse analíticamente en una expresión de forma cerrada. Hay osciladores caóticos que oscilan pero nunca repiten su camino de oscilación. No son al azar. Simplemente no vuelven a hacer lo mismo.

Para responder a su pregunta, es posible modelar teóricamente cualquier fenómeno usando DE. Pero todo depende de cuán complicada y medible sea la dinámica del sistema.