Entonces estás viendo [math] x ^ 2y ” + ky = 0 \ tag H [/ math], que de hecho es la forma general de un DE de Euler.
Al cambiar las variables, podemos mostrar que la solución tomará la forma [math] y (x) = x ^ p [/ math] donde [math] p \ in \ mathbb C [/ math] aún no se ha encontrado. Al diferenciar dos veces e inyectar en la ecuación, obtenemos:
[matemáticas] y (x) = x ^ p \ \ text {es la solución de (H)} \ iff p (p-1) x ^ p + kx ^ p = 0 \ iff p ^ 2-p + k = 0 [/matemáticas]
Ahora, esto es solo una ecuación cuadrática, y su discriminante es [math] \ Delta = 1-4k [/ math]
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- Si [matemática] \ Delta \ gt 0 [/ matemática] es decir. [math] k \ lt 1/4 [/ math], luego [math] k = \ frac {1 \ pm \ sqrt {\ Delta}} {2} [/ math] y ambos son números reales: sin oscilaciones.
- Si [matemática] \ Delta = 0 [/ matemática] es decir. [matemática] k = 1/4 [/ matemática], luego [matemática] k = \ frac {1} {2} [/ matemática] y luego nuevamente, sin oscilaciones
- Pero si [math] \ Delta \ lt [/ math] es decir. [matemática] k \ gt 1/4 [/ matemática], luego [matemática] k = \ frac {1 \ pm i \ sqrt {- \ Delta}} {2} [/ matemática]. Escribamos esto [matemáticas] p = a \ pm ib [/ matemáticas]. Entonces [math] y (x) = x ^ ax ^ {\ pm ib} = x ^ ae ^ {\ pm ib \ ln (x)} [/ math] que, supongo, son oscilaciones.
Como cada caso está cubierto, todavía tenemos nuestras equivalencias y:
La solución oscila iff [math] k \ gt 1/4 [/ math]
Dibujemos la parte real para k = 5/2 por el simple hecho de hacerlo. Entonces [math] \ Delta = -9 [/ math], [math] a = 1/2 [/ math] y [math] b = 3/2 [/ math].