Necesita comprender mejor la naturaleza de las ecuaciones diferenciales separadas.
Tome una ODE separada específica de la siguiente manera
[matemáticas] \ cos {y} \ frac {\ mathrm {d} y} {\ mathrm {d} x} = x ^ 2 [/ math]
Encontramos fácilmente que
- Considerando el Euler DE y ‘+ (k / x ^ 2) y = 0 para x> 0, ¿cómo muestra que las soluciones oscilan si k> 1/4?
- Considerando los coeficientes constantes DE y ‘+ by’ + cy = 0 para xER, ¿cómo se obtienen las condiciones para que sus soluciones sean oscilatorias?
- ¿Existe una relación entre las soluciones de la ecuación diferencial y ” – y = 0 y la función del coseno hiperbólico?
- ¿Cuáles son algunos ejemplos de decadencia exponencial en la vida real?
- Para una EDO lineal no homogénea, ¿por qué la solución Y = Y (h) + Y (p)?
[matemáticas] \ sin {y} = \ frac {1} {3} (x ^ 3 + x_0) [/ matemáticas]
[matemáticas] y = \ sin ^ {- 1} (\ frac {1} {3} (x ^ 3 + x_0)) [/ matemáticas]
y esto depende de la existencia del coseno inverso, que a su vez depende del valor de [math] x_0 [/ math]
Por lo tanto, es correcto ser cauteloso: una integración formal es solo el primer paso para resolver un ODE separable. Luego debes encontrar y explícitamente, o al menos demostrar que es posible. En muchos casos de interés habrá complejidades, como múltiples opciones posibles, o ninguna en absoluto.
Ahora considera tu problema
Déjame volver a expresar tu pregunta un poco
[matemáticas] \ frac {1} {g (y)} \ frac {\ mathrm {d} y} {\ mathrm {d} x} = F ‘(x) [/ math]
Donde [math] F (x) [/ math] es una antiderivada de [math] f (x) [/ math]
En el LHS, debe suponer una función similar G (y) que es una antiderivada de [math] \ frac {1} {g (y)} [/ math]
Una vez hecho esto, su ecuación toma la forma
[matemáticas] G ‘(y) \ frac {\ mathrm {d} y} {\ mathrm {d} x} = F’ (x) [/ math]
Si, como en sus hipótesis, G ‘(y) nunca es 0, esto no es un impedimento particular para el progreso de la solución. Lo que necesitamos es un inverso de G (como en el seno inverso anterior). si G resulta ser la función constante, entonces ciertamente no tendrá inversa.
De otra manera
[matemáticas] y = G ^ {- 1} (F (x) + C) [/ matemáticas]
donde [math] C [/ math] es una constante impuesta por la condición inicial.
Sin embargo, su idea de que solo porque [math] g (y) [/ math] toma esta forma es forzada a ser constante es errónea.
Considerar
[matemáticas] \ frac {1} {y} \ frac {\ mathrm {d} y} {\ mathrm {d} x} = x [/ math]
Como bien sabe, la antiderivada (integral) del LHS es [matemática] \ log {y} [/ matemática] y la inversa de [matemática] \ log {y} [/ matemática] es [matemática] e ^ y [ / matemáticas] y entonces la solución de esta ecuación tiene la forma
[matemáticas] \ displaystyle y = e ^ {\ frac {1} {2} x ^ 2 + C} [/ matemáticas]