Cómo diferenciar esta ecuación paramétrica

Answer 1

No resolveré esto por usted, pero le mostraré cómo hacerlo en general para cualquiera de las dos ecuaciones paramétricas.

Dadas dos funciones continuas y diferenciables [matemáticas] x (\ theta) [/ matemáticas] y [matemáticas] y (\ theta) [/ matemáticas], tenemos por la regla de la cadena:

[matemáticas] \ frac {dy} {d \ theta} = \ frac {dy} {dx} * \ frac {dx} {d \ theta} [/ math]

Al dividir ambos lados entre [math] \ frac {dx} {d \ theta} [/ math] se obtiene [math] \ frac {\ frac {dy} {d \ theta}} {\ frac {dx} {d \ theta} } = \ frac {dy} {dx} (1) [/ math] donde [math] \ frac {dx} {d \ theta} \ neq 0 [/ math]

Recuerde que la segunda derivada viene dada por la fórmula:

[matemáticas] \ frac {d ^ 2y} {dx ^ 2} = \ frac {d} {dx} (\ frac {dy} {dx}) [/ math]

Aplicando este resultado a [math] (1) [/ math] produce:

[matemáticas] \ frac {d ^ 2y} {dx ^ 2} = \ frac {d} {dx} (\ frac {\ frac {dy} {d \ theta}} {\ frac {dx} {d \ theta} }) (2) [/ matemáticas]

Sin embargo, si usamos nuevamente la regla de la cadena, podemos ver que [matemáticas] \ frac {df} {dx} = \ frac {df} {d \ theta} (\ frac {d \ theta} {dx}) [/ matemáticas]

Aplicando esto a [math] (2) [/ math] produce:

[matemáticas] \ frac {d ^ 2y} {dx ^ 2} = \ frac {d} {d \ theta} (\ frac {\ frac {dy} {d \ theta}} {\ frac {dx} {d \ theta}}) * \ frac {d \ theta} {dx} [/ math]

[matemáticas] \ frac {d \ theta} {dx} = \ frac {1} {\ frac {dx} {d \ theta}} [/ matemáticas]

Al conectar eso, se obtiene la fórmula:

[matemáticas] \ frac {d ^ 2y} {dx ^ 2} = \ frac {\ frac {d} {d \ theta} (\ frac {dy} {dx})} {\ frac {dx} {d \ theta }}[/matemáticas]

Nuevamente, esta fórmula solo funciona cuando [math] \ frac {dx} {d \ theta} \ neq 0 [/ math]

¡Espero que esto ayude!

Answer 2

[matemáticas] \ frac {dx} {d \ theta} = \ frac {1} {\ tan \ frac {\ theta} {2}} \ sec ^ {2} \ theta. \ frac {1} {2} = \ frac {1} {\ sin \ theta} [/ math]

[matemáticas] \ frac {dy} {d \ theta} = sec ^ {2} \ theta-1 = \ tan ^ {2} \ theta [/ math].

Entonces, [matemáticas] \ frac {dy} {dx} = \ frac {\ frac {dy} {d \ theta}} {\ frac {dx} {d \ theta}} = \ sin \ theta \ tan ^ {2 } \ theta [/ math].

Ahora, [matemáticas] \ frac {d ^ {2} y} {dx ^ {2}} = \ frac {d} {dx} \ frac {dy} {dx} = \ frac {d} {d \ theta} \ frac {dy} {dx} \ frac {d \ theta} {dx}, donde \ frac {d \ theta} {dx} = \ frac {1} {\ frac {dx} {d \ theta}} = \ sin \ theta [/ math].

Entonces, [matemáticas] \ frac {d ^ {2} y} {dx ^ {2}} = \ frac {d} {d \ theta} (\ sin \ theta \ tan ^ {2} \ theta) \ sin \ theta = (\ cos \ theta \ tan ^ {2} \ theta + \ sin \ theta.2 \ tan \ theta \ sec ^ {2} \ theta) \ sin \ theta = \ tan ^ {2} \ theta \ sin \ theta (\ cos \ theta + 2 \ frac {1} {\ tan \ theta} \ sec ^ {2} \ theta \ sin \ theta) = \ tan ^ {2} \ theta \ sin \ theta (\ cos \ theta +2 \ sec \ theta) [/ math].

Answer 3

Primero:

(1) [matemáticas] \ frac {dx} {d \ theta} = \ frac {1} {\ sin \ theta} [/ matemáticas]

(2) [matemáticas] \ frac {dy} {d \ theta} = \ tan ^ {2} \ theta [/ matemáticas]

Por lo tanto, por la regla de la cadena

[matemáticas] \ frac {dy} {dx} = \ frac {dy} {d \ theta} \ frac {d \ theta} {dx} = \ tan ^ {2} \ theta \ sin \ theta [/ math]

Segundo, también por la regla de la cadena:

[matemáticas] \ frac {d ^ {2} y} {dx ^ {2}} = \ frac {d} {dx} \ frac {dy} {dx} = \ frac {d \ theta} {dx} \ frac {d} {d \ theta} \ left (\ tan ^ {2} \ theta \ sin \ theta \ right) = \ sin \ theta \ tan \ theta \ left (\ sin \ theta + 2 \ frac {\ tan \ theta} {\ cos \ theta} \ right) [/ math]

que es igual a lo que necesitas mostrar.

Me salté muchos de los pasos que involucran identidades trigonométricas.