Cómo resolver [matemáticas] y ” – 2y ‘+ 5y = 0 [/ matemáticas]

Answer 1

El enfoque estándar para una ecuación lineal homogénea con coeficientes constantes es sustituir [math] \ exp (cx) [/ math]. Entonces [matemáticas] (c ^ 2 – 2c + 5) \ exp (cx) = 0 [/ matemáticas]. Necesitas [math] c [/ math] para ser una solución de

[matemáticas] c ^ 2 – 2c + 5 = 0 [/ matemáticas], es decir, [matemáticas] c = 1 \ pm \ sqrt {1 – 5} = 1 \ pm 2i [/ matemáticas]. Entonces, la solución general es [matemáticas] y = A \ exp (x + 2ix) + B \ exp (x-2ix) = \ exp (x) (A (\ cos (2x + i \ sin (2x)) + B (\ cos (2x-i \ sin (2x))) [/ math].

Puedes recoger las partes reales e imaginarias para obtener

[matemática] y = \ exp (x) ((A + B) \ cos (2x) + i (AB) \ sin (2x)) [/ matemática].

Puede dejar que [matemática] A + B = C [/ matemática] y [matemática] AB = -iD [/ matemática] luego [matemática] y = \ exp (x) (C \ cos (2x) + D \ sin ( 2x)) [/ matemáticas].

Answer 2

Usando el método de aniquiladores, si [math] y [/ math] es una función de [math] t [/ math] y [math] D [/ math] es un operador diferencial tal que [math] D = \ frac {\ parcial} {\ parcial t} [/ math] entonces:

[matemáticas] y ” – 2y ‘+ 5y = 0 \ iff [/ matemáticas]

[matemáticas] \ iff (D ^ 2 – 2D + 5) y = 0 [/ matemáticas]

Ahora tienes que encontrar las raíces de la ecuación [matemáticas] D ^ 2 – 2D + 5 = 0 [/ matemáticas]

[matemática] D ^ 2 – 2D + 5 = 0 [/ matemática]

[matemáticas] D = \ frac {2 \ pm \ sqrt {-16}} {2} [/ matemáticas]

[matemáticas] D = 1 + 2i \ lor D = 1 -2i [/ matemáticas]

Ahora tu tienes

[matemáticas] (D – 1 – 2i) (D – 1 + 2i) y = 0 [/ matemáticas]

Ahora solo tiene que saber que dada una ecuación diferencial de este tipo:

[matemáticas] (D – a – bi) (D – a + bi) x = 0 [/ matemáticas]

La función [math] x (t) [/ math] que es aniquilada por estos operadores es del siguiente tipo:

[matemáticas] x (t) = e ^ {at} (C_1 \ cos (bt) + C_2 \ sin (bt) [/ math]

Donde [math] C_1 [/ math] y [math] C_2 [/ math] son ​​constantes que dependen de los valores iniciales de la función x (t).

Dado este,

[matemáticas] y (t) = e ^ {t} (C_1 \ cos (2t) + C_2 \ sin (2t) [/ matemáticas]

es la solución de la ecuación diferencial

[matemáticas] y ” – 2y ‘+ 5y = 0 [/ matemáticas]

Answer 3

Digamos que [math] y [/ math] es una función de [math] x [/ math]. Luego conecte [math] y = e ^ {ax} [/ math]. Luego obtienes un polinomio de segundo grado en [matemáticas] a [/ matemáticas] que puedes resolver, dándote dos soluciones, una para cada raíz. Las raíces complejas se convierten en combinaciones de una exponencial para la parte real y funciones trigonométricas para la parte imaginaria.

Answer 4

[matemáticas] y ” – 2y ‘+ 5y = 0 [/ matemáticas]

Ecuación auxiliar:

[matemáticas] m ^ 2–2m + 5 = 0 \\ [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica m ^ 2–2m + 1 + 4 = 0 \\ [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica (m-1) ^ 2 = -4 \\ [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica m-1 = \ pm 2i \\ [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica m = 1 \ pm 2i [/ matemáticas]

Entonces,

[matemáticas] y = c_1 e ^ x \ cos 2x + c_2 e ^ x \ sen 2x [/ matemáticas]

Answer 5

Las raíces de [matemáticas] D ^ 2–2D + 5 = 0 [/ matemáticas] son ​​[matemáticas] D = 1 \ pm 2i [/ matemáticas] por lo que las soluciones son [matemáticas] C_1e ^ {1 + 2i} + C_2e ^ { 1–2i} [/ math] que puede reescribirse [math] (C_1 + C_2) e ^ t \ cos (2t) + i (C_1-C_2) e ^ t \ sin (2t) [/ math], entonces si solo desea soluciones de valor real, las constantes deben ser conjugados complejos [matemática] C_1 = (a-bi) / 2 [/ matemática] y [matemática] C_2 = (a + bi) / 2 [/ matemática] para hacer que soluciones [matemáticas] ae ^ t \ cos (2t) + be ^ t \ sin (2t) [/ matemáticas]

Answer 6

Deje y ‘= z. Entonces y ” = z ‘

Obtén 2 ecuaciones de primer orden

Y ‘= z

Z ‘= 2z-5y

Sy (s) -z (s) = 0

Sz (s) = 2z (s) -5y (s) = 0

S-1 (y (s) z (s)) = 0

-5. S + 2 (y (s) z (s) = 0

Usa la regla de Krammer para resolver Y (s) y Z (s). Luego transforma de nuevo para obtener Y (t) y Z (t)

Answer 7

debería ser ‘y’ en lugar de ‘x’ …

Answer 8

Primero identificando qué tipo de ecuación diferencial es

¿Lineal?

2do orden?

¿Homogéneo?

Si es así, ¿qué técnicas has aprendido?

En un curso de DE por lo general, identificar el DE es parte del desafío \ U0001f603