Mi explicación matemáticamente deficiente
Una función (en su forma más primitiva) puede pensarse en un objeto que relaciona dos cantidades, generalmente [matemática] x [/ matemática] (variable independiente) y [matemática] y [/ matemática] (variable dependiente).
Un diferencial (en términos sueltos) puede entenderse como un pequeño cambio en cualquiera de estas variables.
Una derivada (de [matemática] y [/ matemática] con respecto a [matemática] x [/ matemática]) puede entenderse simplemente como pendiente (en un punto particular) o la tasa de cambio de la variable dependiente con respecto a la independiente variable (en un punto). Se produce mediante un proceso limitante, es decir, uno toma la relación de diferencial de [matemática] y [/ matemática] sobre diferencial de [matemática] x [/ matemática] en el límite de [matemática] \ delta x \ a 0 [/ matemática ]
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En palabras simples, se puede hacer que esta relación de diferenciales se acerque tanto a la derivada como se desee, siempre que se esté listo para hacer que el diferencial sea lo suficientemente pequeño.
Para ayudarlo a visualizar mejor: si piensa en la función como una curva en el plano xy (imagen a continuación). seleccione cualquier punto (digamos, punto 1) y otro punto en la curva [matemática] \ delta x [/ matemática] y lejos de ella (digamos, punto 2) (no importa de qué lado). Ahora dibuja una línea desde estos puntos y terminas con una línea secante. La pendiente de esta línea es la relación [matemática] \ frac {\ delta y} {\ delta x} [/ matemática]. Ahora imagine que mueve lentamente el punto 2 lo más cerca posible del punto 1. La línea secante finalmente se convierte en una tangente. Este proceso es geométricamente igual que tomar el límite que había discutido anteriormente.