¿Cómo justifico que una ecuación diferencial no tiene una solución particular?
¿Es posible resolver la ecuación?
y ′ = (xy) / cos (x) para, y (0) = 1. Justifica tu respuesta
Siento que no debería ser posible porque el término cos (x) causa discontinuidades en el gráfico de pendiente, pero no estoy seguro de cómo justificar eso técnicamente.
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Tiene razón en que hay una discontinuidad inherente en la solución en [math] x = \ pm \ pi / 2 [/ math], pero eso no significa que no exista una solución . Simplemente significa que la solución solo es válida en un dominio restringido.
Para el problema de valor inicial [math] y ‘= xy \ sec x [/ math], con [math] y (0) = 1 [/ math], la existencia de una solución única en algún intervalo que contenga 0 está garantizada por el teorema de Picard-Lindelöf, a menudo llamado “teorema de existencia y unicidad”. Básicamente, porque [math] xy \ sec x [/ math] es continuo alrededor del punto [math] (0,1) [/ math], hay Una solución única en torno a ese punto. En este caso, se ve así:
Campos de pendiente y dirección para ecuaciones diferenciales
Nota adicional: La solución puede expresarse implícitamente por la ecuación [math] \ ln | y | = \ int x \ sec x \, dx [/ math], pero una forma cerrada para el lado derecho de esa ecuación es un un poco desordenado