Cómo resolver [matemáticas] x ^ 2y ” – 2xy ‘+ 2y = x ^ 3 \ cos x [/ matemáticas]

Answer 1

Aquí están los pasos detallados. Tenga en cuenta que cuando se utiliza la variación de parámetros, el coeficiente de la derivada más alta debe ser [matemática] 1 [/ matemática], por lo que debemos dividir por [matemática] x ^ 2 [/ matemática]

[matemáticas] \ text {Considerar} x ^ 2y ” – 2xy ‘+ 2y = 0 \\ [/ matemáticas]

[matemáticas] \ text {Let} y = x ^ m \\ [/ matemáticas]

[matemáticas] \ text {So} y ‘= mx ^ {m-1}, y’ ‘= m (m-1) x ^ {m-2} \\ [/ math]

[matemáticas] \ text {Sustituirlos en la ecuación diferencial nos da …} \\ [/ matemáticas]

[matemáticas] x ^ 2m (m-1) x ^ {m-2} -2xmx ^ {m-1} + 2x ^ m = 0 \\ [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica x ^ m (m (m-1) -2m + 2) = 0 \\ [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica x ^ m (m ^ 2-3m + 2) = 0 \\ [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica x ^ m (m-2) (m-1) = 0 \\ [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica m = 1,2 [/ matemáticas]

[matemáticas] y_c = c_1x + c_2x ^ 2 \ etiqueta {1} [/ matemáticas]

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[math] \ text {Para la solución particular, requerimos que la derivada de orden más alta tenga un coeficiente unitario positivo.} \\ [/ math]

[matemática] \ text {Dividiendo la ecuación original por} x ^ 2 \ text {…} \\ [/ math]

[matemáticas] y ” – \ dfrac {2} {x} y ‘+ \ dfrac {2} {x ^ 2} y = 0 \\ [/ matemáticas]

[math] \ text {La ecuación particular tiene la forma} y_p = u_1y_1 + u_2y_2 \\ [/ math]

[matemáticas] \ text {donde} y_1 = x \ text {y} y_2 = x ^ 2 \\ [/ matemáticas]

[matemáticas] \ text {Estamos obligados a encontrar el determinante wronskiano …} \\ [/ matemáticas]

[matemáticas] W (y_1, y_2) = \ begin {vmatrix} y_1 & y_2 \\ y_ {1} ^ {‘} & y_ {2} ^ {‘} \ end {vmatrix} \\ [/ math]

[matemáticas] W = \ begin {vmatrix} x & x ^ 2 \\ 1 & 2x \ end {vmatrix} = 2x ^ 2-x ^ 2 = x ^ 2 [/ math]

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[matemáticas] u_ {1} ^ {‘} = \ dfrac {\ begin {vmatrix} 0 & x ^ 2 \\ x \ cos x & 2x \ end {vmatrix}} {W} = \ dfrac {-x ^ 3 \ cos x} {x ^ 2} = – x \ cos x \\ [/ math]

[matemáticas] \ implica u_1 = \ displaystyle \ int -x \ cos x \, dx = -x \ sin x- \ int – \ sin x \, dx [/ math]

[matemáticas] \\ \ implica u_1 = -x \ sin x- \ cos x \\ [/ matemáticas]

[matemáticas] u_ {2} ^ {‘} = \ dfrac {\ begin {vmatrix} x & 0 \\ 1 & x \ cos x \ end {vmatrix}} {W} = \ dfrac {x ^ 2 \ cos x } {x ^ 2} = \ cos x \\ [/ math]

[matemáticas] \ implica u_2 = \ displaystyle \ int \ cos x \, dx = \ sin x [/ math]

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[matemáticas] y_p = x (-x \ sin x- \ cos x) + x ^ 2 \ sin x [/ matemáticas]

[matemáticas] y_p = -x \ cos x \ etiqueta {2} [/ matemáticas]

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[matemáticas] \ text {Solución general:} [/ matemáticas]

[matemáticas] y = y_c + y_p [/ matemáticas]

[matemáticas] y = c_1x + c_2x ^ 2-x \ cos x \ tag {3} [/ matemáticas]

Answer 2

Primero resolvemos la ecuación homogénea: [matemática] x ^ 2y ” – 2xy ‘+ 2y = 0 [/ matemática].
Esta es una ecuación de Euler-Cauchy de la forma: [matemáticas] x ^ 2y ” + bxy ‘+ cy = 0 [/ matemáticas].

Ecuaciones de Euler-Cauchy

Las soluciones a la ecuación homogénea son de la forma: [matemáticas] y = x ^ r [/ matemáticas].
Al conectar esto a la ecuación homogénea, obtenemos:

[matemáticas] x ^ 2 \ cdot r (r-1) x ^ {r-2} – 2x \ cdot rx ^ {r-1} + 2x ^ r = 0 \\ x ^ r (r (r-1) – 2r + 2) = 0 \\ x ^ r (r ^ 2 – 3r + 2) = 0 \\ x ^ r (r – 1) (r – 2) = 0 \\ r = 1 \ text {o} 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] y_h = C_1 \, x + C_2 \, x ^ 2 [/ matemáticas]

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A continuación, encontramos una solución particular para la ecuación no homogénea utilizando el método de variación de parámetros:

Método de variación de parámetros.

Reescribimos la ecuación en la forma: [matemáticas] y ” + p (x) y ‘+ q (x) y = g (x) [/ matemáticas]

[matemáticas] x ^ 2y ” – 2xy ‘+ 2y = x ^ 3 \ cos x \\ y’ ‘- \ frac {2} {x} y’ + \ frac {2} {x ^ 2} y = x \ cos x [/ math]

La solución particular es: [matemáticas] y_p = u_1 \, y_1 + u_2 \, y_2 [/ matemáticas], donde:
[matemáticas] \ {y_1, y_2 \} [/ matemáticas] es el conjunto de soluciones fundamentales para la ecuación homogénea;
[matemáticas] u_1 = – \ int \ frac {y_2 \, g (x)} {W (y_1, y_2)} dx [/ matemáticas];
[matemáticas] u_2 = \ int \ frac {y_1 \, g (x)} {W (y_1, y_2)} dx [/ matemáticas].

[matemáticas] y_1 = x \\ y_2 = x ^ 2 \\ W (y_1, y_2) = x \ cdot 2x – 1 \ cdot x ^ 2 = x ^ 2 [/ matemática]

[matemáticas] \ begin {align *} u_1 & = – \ int \ frac {x ^ 2 \ cdot x \ cos x} {x ^ 2} \, dx \\ & = – \ int x \ cos x \: dx \\ & = – (x \ sin x + \ cos x) \ end {align *} [/ math]

[matemáticas] \ begin {align *} u_2 & = \ int \ frac {x \ cdot x \ cos x} {x ^ 2} \, dx \\ & = \ int \ cos x \: dx \\ & = \ sen x \ end {align *} [/ math]

[matemáticas] \ begin {align *} y_p & = u_1 \, y_1 + u_2 \, y_2 \\ & = – (x \ sin x + \ cos x) \, x + (\ sin x) \, x ^ 2 \\ & = -x \ cos x \ end {align *} [/ math]

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Solución general:

[matemáticas] y = y_h + y_p [/ matemáticas]

[matemáticas] \ boxed {\ boldsymbol {y = C_1 \, x + C_2 \, x ^ 2 – x \ cos x}} [/ math]

Answer 3

No sé si ayuda, pero intente [matemáticas] u = x ^ 2y ‘[/ matemáticas], por lo que obtiene: [matemáticas] \ frac {\ partial u} {\ partial y} – \ frac {\ partial u } {\ parcial x} + 2y = 0 [/ matemáticas]