¿Cómo resolverá los problemas de cálculo diferencial dados?

Respuesta 1 :-

[matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {x \ a 0} \ frac {e ^ x – 1} {x ^ 4 \ sin x} \ left (\ frac {3 \ sin x – \ sin 3x} {\ cos x – \ cos 3x} \ right) ^ 4 [/ math]

Aplicando reglas trigonométricas:

[matemáticas] \ displaystyle = \ lim_ {x \ a 0} \ frac {e ^ x – 1} {x ^ 4 \ sin x} \ left (\ frac {3 \ sin x – (3 \ sin x – 4 \ sin ^ 3 x)} {\ cos x – (4 \ cos ^ 3 x- 3 \ cos x)} \ right) ^ 4 [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle = \ lim_ {x \ a 0} \ frac {e ^ x – 1} {x ^ 4 \ sin x} \ left (\ frac {3 \ sin x -3 \ sin x + 4 \ sin ^ 3 x} {\ cos x – 4 \ cos ^ 3 x + 3 \ cos x} \ right) ^ 4 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle = \ lim_ {x \ a 0} \ frac {e ^ x – 1} {x ^ 4 \ sin x} \ left (\ frac {4 \ sin ^ 3 x} {\ cos x – 4 \ cos ^ 3 x + 3 \ cos x} \ right) ^ 4 [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle = \ lim_ {x \ a 0} \ frac {e ^ x – 1} {x ^ 4 \ sin x} \ left (\ frac {4 \ sin ^ 3 x} {4 \ cos x – 4 \ cos ^ 3 x} \ right) ^ 4 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle = \ lim_ {x \ a 0} \ frac {e ^ x – 1} {x ^ 4 \ sin x} \ left (\ frac {4 \ sin ^ 3 x} {4 (\ cos x – \ cos ^ 3 x)} \ right) ^ 4 [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle = \ lim_ {x \ a 0} \ frac {e ^ x – 1} {x ^ 4 \ sin x} \ left (\ frac {\ sin ^ 3 x} {\ cos x (1 – \ cos ^ 2 x)} \ right) ^ 4 [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle = \ lim_ {x \ a 0} \ frac {e ^ x – 1} {x ^ 4 \ sin x} \ left (\ frac {\ sin ^ 3 x} {\ cos x \ sin ^ 2 x} \ derecha) ^ 4 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle = \ lim_ {x \ a 0} \ frac {e ^ x – 1} {x ^ 4 \ sin x} \ left (\ frac {\ sin x} {\ cos x} \ right) ^ 4 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle = \ lim_ {x \ a 0} \ frac {e ^ x – 1} {\ sin x} \ left (\ frac {\ sin x} {x \ cos x} \ right) ^ 4 [ /matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle = \ lim_ {x \ a 0} \ frac {e ^ x – 1} {\ sin x} \ left (\ lim_ {x \ to 0} \ frac {\ sin x} {x \ cos x} \ right) ^ 4 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle = \ lim_ {x \ a 0} \ frac {e ^ x – 1} {\ sin x} \ left (\ lim_ {x \ to 0} \ frac {\ sin x} {x} \ lim_ {x \ a 0} \ frac {1} {\ cos x} \ right) ^ 4 [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle = \ lim_ {x \ a 0} \ frac {e ^ x – 1} {\ sin x} \ left (\ lim_ {x \ to 0} \ frac {\ sin x} {x} \ frac {1} {\ cos (0)} \ right) ^ 4 [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle = \ lim_ {x \ a 0} \ frac {e ^ x – 1} {\ sin x} \ left (\ lim_ {x \ to 0} \ frac {\ sin x} {x} \ derecha) ^ 4 [/ matemáticas]

Aplicando la regla de L’Hôpital en ambos límites:

[math] \ displaystyle = \ lim_ {x \ to 0} \ frac {e ^ x} {\ cos x} \ left (\ lim_ {x \ to 0} \ cos x \ right) ^ 4 [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle = \ frac {e ^ 0} {\ cos 0} (\ cos 0) ^ 4 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle = \ frac {1} {1} (1) ^ 4 [/ matemáticas]

[math] \ displaystyle = 1 \ thinspace. [/ math]

Respuesta 2: –

[matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {x \ a 0} \ frac {\ log _ {\ sin ^ 2 x} (\ cos x)} {\ log _ {\ sin ^ 2 \ frac {x} {2}} (\ cos \ frac {x} {2})} [/ math]

Aplicación de reglas de registro:

[matemáticas] \ displaystyle = \ lim_ {x \ a 0} \ frac {\ ln (\ cos x) / 2 \ ln (\ sen x)} {\ ln (\ cos \ frac {x} {2}) / 2 \ ln (\ sin \ frac {x} {2})} [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle = \ lim_ {x \ a 0} \ frac {\ ln (\ cos x)} {\ ln (\ sin x)} \ cdot \ frac {\ ln (\ sin \ frac {x} { 2})} {\ ln (\ cos \ frac {x} {2})} [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle = \ lim_ {x \ a 0} \ frac {\ ln (\ cos x)} {\ ln (\ cos \ frac {x} {2})} \ lim_ {x \ to 0} \ frac {\ ln (\ sin \ frac {x} {2})} {\ ln (\ sin x)} [/ math]

Aplicando la regla de L’Hôpital en ambos límites:

[matemáticas] \ displaystyle = \ lim_ {x \ a 0} \ frac {- \ tan x} {- \ frac {\ tan \ frac {x} {2}} {2}} \ lim_ {x \ a 0} \ frac {\ frac {\ cot \ frac {x} {2}} {2}} {\ cot x} [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle = \ lim_ {x \ a 0} \ frac {\ tan x \ cot \ frac {x} {2}} {\ tan \ frac {x} {2} \ cot x} [/ math]

Aplicando [math] \ displaystyle \ tan \ alpha = \ frac {1} {\ cot \ alpha} [/ math]:

[matemáticas] \ displaystyle = \ lim_ {x \ a 0} \ frac {\ tan ^ 2 x} {\ tan ^ 2 \ frac {x} {2}} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle = \ lim_ {x \ a 0} \ left (\ frac {\ tan x} {\ tan \ frac {x} {2}} \ right) ^ 2 [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle = \ left (\ lim_ {x \ a 0} \ frac {\ tan x} {\ tan \ frac {x} {2}} \ right) ^ 2 [/ math]

Aplicando la regla de L’Hôpital en el límite:

[matemáticas] \ displaystyle = \ left (\ lim_ {x \ to 0} \ frac {\ sec ^ 2 x} {\ frac {\ sec ^ 2 \ frac {x} {2}} {2}} \ right) ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle = \ left (\ frac {\ sec ^ 2 0} {\ frac {\ sec ^ 2 \ frac {0} {2}} {2}} \ right) ^ 2 [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle = \ left (\ frac {1} {\ frac {1} {2}} \ right) ^ 2 [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle = 2 ^ 2 [/ matemáticas]

[math] \ displaystyle = 4 \ thinspace. [/ math]

Respuesta 3: –

[matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {x \ a 0} \ frac {(1 + x) ^ {\ frac {1} {x}} – e} {x} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle = \ lim_ {x \ a 0} \ frac {e ^ {\ frac {\ ln (1 + x)} {x}} – e} {x} [/ matemáticas]

Aplicación de la serie Maclaurin para [math] \ ln (1 + x) [/ math]:

[matemáticas] \ displaystyle = \ lim_ {x \ a 0} \ frac {e ^ {\ frac {x – \ frac {x ^ 2} {2} + \ mathcal {O} (x ^ 3)} {x} } – e} {x} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle = \ lim_ {x \ a 0} \ frac {e ^ {\ frac {x – \ frac {x ^ 2} {2}} {x}} – e} {x} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle = \ lim_ {x \ a 0} \ frac {e ^ {1 – \ frac {x} {2}} – e} {x} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle = \ lim_ {x \ a 0} \ frac {e (e ^ {1 – \ frac {x} {2} -1} – 1)} {x} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle = e \ lim_ {x \ a 0} \ frac {e ^ {- \ frac {x} {2}} – 1} {x} [/ matemáticas]

Aplicando la regla de L’Hôpital:

[matemáticas] \ displaystyle = e \ lim_ {x \ a 0} \ frac {-e ^ {- \ frac {x} {2}}} {2} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle = e \ frac {-e ^ {- \ frac {0} {2}}} {2} [/ matemáticas]

[math] \ displaystyle = – \ frac {e} {2} \ thinspace. [/ math]