¿De qué ecuaciones físicas recomendarías aprender las pruebas?

En cierto sentido, se podría decir que cualquier ecuación es una tautología, es decir, el lado izquierdo es igual al lado derecho, por lo que a priori no se aprende información nueva. Pero una ecuación útil es aquella que proporciona una simplificación dramática de una expresión con muchos términos, variables, restricciones, etc. o relaciona dos conceptos muy diferentes.

Hay muchos ejemplos, pero solo nombraré tres con derivaciones cortas (no más de una página).

1. Las cuatro ecuaciones de Maxwell para el campo electromagnético en presencia de fuentes (cargas y corrientes) pueden simplificarse dramáticamente a dos ecuaciones en forma diferencial:

(i) [matemáticas] dF = 0 [/ matemáticas] y (ii) [matemáticas] * d * F = J [/ matemáticas]

donde el tensor de Faraday

[matemáticas] F _ {\ mu, \ nu} = \ partial _ {\ mu} A _ {\ nu} – \ partial _ {\ nu} A _ {\ mu} [/ math]

con A, el potencial del vector magnético escrito como un vector 4, * es el operador estelar Hodge, y J es el vector 4 actual.

Comprender la derivación de esto le da una idea de la interpretación relativista del electromagnetismo, la belleza y el poder de las formas diferenciales, y permite nuevas derivaciones. Por ejemplo, tomando * de (ii) y luego tomando la derivada d, se obtiene (iii) [matemáticas] d * J = 0 [/ matemáticas], que es la ecuación de continuidad que expresa la conservación de la carga. Además, si está en el vacío sin cargas / corrientes alrededor, entonces [matemática] J = 0 [/ matemática] y tenemos [matemática] dF = 0 = d * F [/ matemática], o que las ecuaciones de Maxwell se ven iguales al reemplazar F con * F, lo que significa que las ecuaciones de vacío se ven iguales con [math] \ vec {E} \ rightarrow – \ vec {B}, \ vec {B} \ rightarrow \ vec {E} [/ math] que es dualidad electromagnética (un concepto que es poderoso en la teoría cuántica de campos y más allá).

2. Entropía de Shannon [matemática] S (p_1, p_2,…, p_n) = – \ sum_ {i = 1} ^ n p_i log p_i [/ ​​matemática] .

Esto cuantifica la falta de conocimiento sobre el estado de un sistema cuyo conjunto de microestados [matemática] i = 1,…, n [/ matemática] se describe mediante una distribución de probabilidad [matemática] {p_i} [/ matemática] y es fundamental principio rector de la física estadística, por ejemplo, es la razón por la que la ecuación de entropía de Boltzmann funciona para la termodinámica, y es un principio rector para la codificación de información, la compresión de imágenes, etc. Tal como está escrito, parece una definición, pero de hecho Shannon dedujo que es la medida única (hasta una constante) que satisface los siguientes axiomas: (i) Continuidad: S es una función continua de sus argumentos, (ii) Monotonicidad: La entropía de una distribución uniforme sobre n estados es mayor que la entropía de una distribución uniforme sobre m estados si n> m, y (iii) Ley de composición: [matemáticas] S (AB) = S (A) + \ sum_k p_k S (B | A_k) [/ matemáticas] donde A es un experimento y B es otro. Esta última regla puede entenderse considerando un experimento compuesto como tener una mesa con m sombreros distinguibles y cada sombrero k contiene n_k cartas distinguibles. La entropía asociada con el experimento compuesto de elegir un sombrero y una carta dentro de un sombrero es la suma de arriba donde S (A) es solo la entropía para la distribución del sombrero [matemáticas] S (p_1, p_2,…, p_m) [/ matemáticas] (donde [math] p_i [/ ​​math] es la probabilidad de elegir hat i), y S (B | A_k) es la entropía condicional para elegir una carta dado que hat k fue elegido.

3. La relación de incertidumbre de Heisenberg

[matemáticas] | \ langle \ Delta \ hat {A} \ Delta \ hat {B} \ rangle | ^ 2 \ geq \ frac {1} {4} | \ langle [\ hat {A}, \ hat {B} ] \ rangle | ^ 2 [/ matemáticas]

donde [math] \ hat {A} [/ math] y [math] \ hat {B} [/ math] son ​​operadores de mecánica cuántica, [math] [\ hat {A}, \ hat {B}] = \ hat {A} \ hat {B} – \ hat {B} \ hat {A} [/ math] es el conmutador, [math] \ langle \ hat {O} \ rangle [/ math] es el valor esperado de un operador [matemática] \ hat {O} [/ matemática] con respecto a un estado mecánico cuántico puro, y [matemática] \ Delta \ hat {O} = (\ hat {O} – \ langle \ hat {O} \ rangle) [/ math] es (la raíz cuadrada de) la varianza del operador. Tenga en cuenta que se pueden hacer generalizaciones a estados mixtos. Esta es una prueba fácil de usar la desigualdad de Cauchy-Schwartz, pero vale la pena recordarla, ya que se usa por todas partes en la mecánica cuántica. Hacer la prueba también ayuda a recordar cómo encontrar estados que se minimicen de manera incierta (hacer que la desigualdad sea una igualdad), estados llamados estados de incertidumbre mínima.

Tenga en cuenta que también puede escribir esto en la forma más habitual presentada en los libros de texto en términos de productos de variaciones

[matemáticas] | \ langle (\ Delta \ hat {A}) ^ 2 \ rangle \ langle (\ Delta \ hat {B}) ^ 2 \ rangle | \ geq \ frac {1} {4} | \ langle [\ sombrero {A}, \ sombrero {B}] \ rangle | ^ 2 [/ math]