Cómo encontrar la solución general de la ecuación diferencial [matemáticas] x ” + 2 \ delta x ‘+ 9x = 5 \ sin (3t) [/ matemáticas]

Answer 1

* A2A

La pregunta no me dice todo. Eso hace que sea más difícil de resolver, tendré que considerar todos los casos posibles

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Ecuación auxiliar:

[matemáticas] m ^ 2 + 2 \ delta m + 9 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica m = \ dfrac {-2 \ delta \ pm \ sqrt {4 \ delta ^ 2 -36}} {2} = \ dfrac {-2 \ delta \ pm \ sqrt {\ delta ^ 2–9 }} {2} = – \ delta \ pm \ sqrt {\ delta ^ 2–9} [/ math]

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[matemáticas] x_c (t) = \ begin {cases} c_1e ^ {(\ delta + \ sqrt {\ delta ^ 2-9}) x} + c_2e ^ {(\ delta- \ sqrt {\ delta ^ 2-9} )X}; & \ delta ^ 2-9> 0 \\ c_1e ^ {- \ delta x} + c_2xe ^ {- \ delta x}; & \ delta ^ 2-9 = 0 \\ c_1e ^ {- \ delta x} (\ cos (\ sqrt {\ delta ^ 2-9}) x + \ sin (\ sqrt {\ delta ^ 2-9}) x ); & \ delta ^ 2-9 <0 \ end {cases} [/ math]

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[matemáticas] x_p = A \ cos 3t + B \ sin 3t [/ matemáticas]

[matemáticas] x_p ‘= – 3A \ sin 3t + 3B \ cos 3t [/ matemáticas]

[matemáticas] x_p ” = – 9A \ cos 3t-9B \ cos 3t [/ matemáticas]

[matemáticas] 9x_p = 9A \ cos 3t + 9B \ sin 3t [/ matemáticas]

[matemáticas] 2 \ delta x_p ‘= – 6 \ delta A \ sin 3t + 6 \ delta B \ cos 3t [/ matemáticas]

Añadiendo …

[matemáticas] x_p ” + 2 \ delta x_p ‘+ 9x = 5 \ sin 3t [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica -6 \ delta A \ sin 3t + 6 \ delta B \ cos 3t = 5 \ sin 3t [/ matemáticas]

Comparando coeficientes,

[matemáticas] -6 \ delta A = 5 \ implica A = – \ dfrac {5} {6 \ delta} [/ matemáticas]

[matemáticas] B = 0 [/ matemáticas]

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[matemáticas] x_p = – \ dfrac {5} {6 \ delta} \ cos 3t [/ matemáticas]

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Ahora toma

[matemáticas] x (t) = x_c (t) + x_p (t) \ tag {*} [/ matemáticas]

y hemos terminado

Alena Everdeen Lamento haber tenido que comenzar con uno de mis alumnos mientras escribía la solución. Lo he terminado ahora, mira si ayuda.

Answer 2

¿Cómo encuentro la solución general de la ecuación diferencial [matemática] x ” + 2 \ delta x ‘+ 9x = 5 \ sin (3t) [/ matemática]?

Mis soluciones homogéneas son [matemáticas] \ lambda_ {1,2} = – \ delta \ pm \ sqrt {\ delta ^ 2-9} [/ matemáticas]

Los valores de [math] \ lambda_1 [/ math] y [math] \ lambda_2 [/ math] son ​​las soluciones a la ecuación auxiliar [math] \ lambda ^ 2 + 2 \ delta \ lambda + 9 = 0 [/ math] . Suponiendo que [math] \ delta [/ math] es real, la solución de caso homogéneo es:

[matemática] x_h = \ cases {C_1 e ^ {\ lambda_1 t} + C_2 e ^ {\ lambda_2 t} & para reales y distintos $ \ lambda_1 $ y $ \ lambda_2 $ \\ & i.e., if $ | \ delta |> 3 $ \\\\\ bigl (C_1 \ sin \ beta t + C_2 \ cos \ beta t \ bigr) e ^ {- \ delta t} y para conjugados complejos raíces $ – \ delta \ pm i \ beta $; \\ & i.e., si $ | \ delta | <3 $ y $ \ beta = \ sqrt {9- \ delta ^ 2} $ \\\\\ bigl (C_1 + C_2t \ bigr) e ^ {- \ delta t} & if $ | \ delta | = 3 $ para que $ \ lambda_1 = \ lambda_2 = - \ delta $} [/ math]

La solución particular debe ser de la forma [math] x_p = A \ sin (3t) + B \ cos (3t) [/ math]; tenga en cuenta que [math] x_h [/ math] no se parecerá a [math] x_p [/ math] en ninguno de los casos anteriores. La diferenciación da [math] x_p ‘= 3A \ cos (3t) -3B \ sin (3t) [/ math] y [math] x_p’ ‘= – 9x_p [/ math]; sustituyendo en el DE, el primer y el último término en el lado izquierdo se cancelan, y tenemos

[matemáticas] 2 \ delta (3A \ cos (3t) -3B \ sin (3t)) = 5 \ sin (3t) [/ matemáticas]

Los coeficientes de ecuación nos dicen que [matemática] A = 0 [/ matemática] y [matemática] -6 \ delta B = 5 [/ matemática]. Por lo tanto, [math] x_p = – \ frac {5} {6 \ delta} \ cos (3t) [/ math], y la solución general será [math] x_h- \ frac {5} {6 \ delta} \ cos (3t) [/ math], utilizando la solución homogénea apropiada según el valor de [math] \ delta [/ math].

Answer 3

Déjame decirte cómo obtener elegantemente [matemáticas] x_p = – \ frac {5} {6 \ delta} \ cos {3t} [/ matemáticas].

Primero, [math] \ sin {3t} [/ math] es la solución de [math] x ” + 9x = 0 [/ math]. Puedes deducirlo de la ecuación original. Es decir [matemáticas] 2 \ delta x ‘= 5 \ sin {3t} [/ matemáticas].

Segundo, resuelva esta ecuación [math] 2 \ delta x ‘= 5 \ sin {3t} [/ math] para una solución particular. Eso es [matemáticas] x_p = – \ frac {5} {6 \ delta} \ cos {3t} [/ matemáticas].

Este es un teorema probado por mí en lugar de solo un método. Entonces puedes contar con esto.

Answer 4

Una solución particular es -5cos (3t) / 6 delta. Entonces puede agregar eso a las soluciones a la ecuación homogénea que encontró con el factor integrador.