¿Cuál es una derivada de la función como [math] y = a (x) ^ {b (x)} [/ math]?

¿Cuál es una derivada de la función como y = (a [x]) ^ (b [x])?

Esta es una copia ligeramente editada de la respuesta que escribí a “¿Cómo diferenciar [matemáticas] (\ sqrt {x}) ^ {\ sqrt {x}} [/ matemáticas]?”:

Todos los que han estudiado cálculo conocen estas dos reglas (son reglas básicas, combinadas con una aplicación de la regla de la cadena):

  1. [matemáticas] \ frac {d} {dx} \ left (f (x) ^ b \ right) = \ color {red} {bf (x) ^ {b-1} \ cdot f ‘(x)} [/ matemáticas] (una función elevada a una potencia constante)
  2. [matemáticas] \ frac {d} {dx} \ left (a ^ {g (x)} \ right) = \ color {blue} {a ^ {g (x)} \ ln a \ cdot g ‘(x) } [/ math] (una constante elevada al poder de una función)

Hay una regla menos conocida que se aplica cuando tanto la base como el exponente son funciones (no constantes); Básicamente es solo la suma de las dos reglas anteriores:

  • [matemáticas] \ frac {d} {dx} \ left (f (x) ^ {g (x)} \ right) = \ color {red} {g (x) f (x) ^ {g (x) – 1} \ cdot f ‘(x)} + \ color {azul} {f (x) ^ {g (x)} \ ln f (x) \ cdot g’ (x)} [/ math]

Podemos sacar el factor común de [matemáticas] f (x) ^ {g (x) -1} [/ matemáticas], dejando

  • [matemáticas] \ boxed {\ frac {d} {dx} \ left (f (x) ^ {g (x)} \ right) = f (x) ^ {g (x) -1} \ left (g ( x) f ‘(x) + f (x) g’ (x) \ ln f (x) \ right)} [/ math]

Puede que no valga la pena memorizar esta regla general (que puede probarse utilizando métodos de diferenciación logarítmica), pero no es demasiado grande más allá de las dos reglas básicas enumeradas anteriormente, y hace un trabajo corto de problemas como estos:

  • [matemáticas] \ frac {d} {dx} \ left ({\ sqrt x} ^ {\ sqrt x} \ right) = \ frac {1} {2} \ sqrt x ^ {\ sqrt x-1} \ left (1 + \ frac {1} {2} \ ln x \ right) [/ math]: tenga en cuenta que [math] g (x) f ‘(x) = f (x) g’ (x) = \ frac { 1} {2} [/ matemáticas].
  • [matemáticas] \ frac {d} {dx} \ left ((\ cos x) ^ {\ sin x} \ right) = (\ cos x) ^ {\ sin x-1} \ left (- \ sin ^ 2x + \ cos ^ 2x \ cdot \ ln \ sin x \ right) [/ math]
  • [matemáticas] \ frac {d} {dx} \ left ((x ^ 2 + 1) ^ {(e ^ x)} \ right) = (x ^ 2 + 1) ^ {(e ^ x-1)} \ left (2xe ^ x + x ^ 2e ^ x \ ln (x ^ 2 + 1) \ right) [/ math]

Solo hay algunas formas de definir la operación [math] a ^ b [/ math]. La idea de la multiplicación repetida de [matemática] a [/ matemática] un total de [matemática] b [/ matemática] veces solo funciona cuando [matemática] b [/ matemática] es un número natural. La idea de la multiplicación repetida seguida de una raíz solo funciona cuando [math] b [/ math] es un número racional (y [math] a [/ math] es positivo). La idea de usar secuencias de números racionales funciona para los reales, pero solo cuando [math] a [/ math] es positivo. Pero la definición que siempre funciona (incluso para valores complejos, aunque eso no es algo que discutiré aquí) es que

[matemáticas] a ^ b = \ exp (b \ ln a) [/ matemáticas]

Aquí defino la función exponencial por una serie convergente en todas partes:

[matemáticas] \ displaystyle \ exp (x) = 1 + \ sum_ {k = 0} ^ \ infty \ frac {x ^ k} {k!} [/ math]

(donde [matemáticas] x ^ k = \ prod_ {m = 1} ^ {k} x [/ matemáticas]).

Defino la función de registro natural para positivo [matemáticas] x [/ matemáticas] por:

[matemáticas] \ ln (x) = \ int_1 ^ x \ frac {dt} t [/ matemáticas]

Tenga en cuenta que cuando el argumento no es positivo, definimos el registro natural utilizando el registro complejo, una idea que no discutiré aquí.


Con la definición en nuestro haber, podemos considerar este problema. Asumiré que [math] a (x) [/ math] es una función diferenciable que toma valores en los reales positivos y [math] b (x) [/ math] es una función de valor real diferenciable. Entonces, desde la DEFINICIÓN de la operación:

[matemáticas] a (x) ^ {b (x)} = \ exp (b (x) \ ln (a (x)) [/ matemáticas]

Usando la regla de la cadena:

[matemáticas] \ frac d {dx} a (x) ^ {b (x)} = \ frac d {dx} \ exp (b (x) \ ln (a (x)) = \ exp (b (x) \ ln (a (x)) \ frac d {dx} \ left (b (x) \ ln (a (x)) \ right) [/ math]

Usando la regla del producto:

[matemáticas] \ frac d {dx} \ left (b (x) \ ln (a (x)) \ right) = \ ln (a (x)) \ frac d {dx} b (x) + b (x ) \ frac d {dx} \ ln (a (x)) [/ math]

Y utilizando la regla de la cadena junto con el teorema fundamental del cálculo con la definición integral basada en el registro natural, tenemos:

[matemáticas] \ frac d {dx} \ ln (a (x)) = \ frac 1 {a (x)} \ frac d {dx} a (x) [/ matemáticas]

Finalmente, obtenemos:

[matemáticas] \ frac d {dx} a (x) ^ {b (x)} = \ exp (b (x) \ ln (a (x)) \ left (\ ln (a (x)) \ frac d {dx} b (x) + \ frac {b (x)} {a (x)} \ frac d {dx} a (x) \ right) [/ math]

Usando la notación [math] \ frac d {dx} f (x) = f ‘(x) [/ math] podemos escribir esta respuesta como:

[matemáticas] \ frac d {dx} a (x) ^ {b (x)} = \ exp (b (x) \ ln (a (x)) \ left (\ ln (a (x)) b ‘( x) + \ frac {b (x)} {a (x)} a ‘(x) \ right) [/ math]

Tenga en cuenta que el requisito de que [matemáticas] a (x) [/ matemáticas] tome valores reales positivos es lo que se necesita para garantizar que [matemáticas] \ ln (a (x)) [/ matemáticas] y [matemáticas] \ frac { b (x)} {a (x)} [/ math] son ​​funciones de valor real bien definidas.

[matemáticas] y = a (x) ^ {b (x)} [/ matemáticas]

[math] \ Rightarrow \ ln (y) = b (x) \ ln (a (x)) [/ math]

[matemáticas] \ Rightarrow \ frac {1} {y} \ frac {dy} {dx} = \ frac {b (x)} {a (x)} \ frac {da} {dx} + \ ln (a ( x)) \ frac {db} {dx} [/ math]

[matemáticas] \ Rightarrow \ frac {dy} {dx} = a (x) ^ {b (x)} \ left (\ frac {b (x)} {a (x)} \ frac {da} {dx} + \ ln (a (x)) \ frac {db} {dx} \ right) [/ math]

Asumiré que querías decir

[matemáticas] f (x) = a (x) ^ {b (x)} [/ matemáticas]

donde ayb son funciones C ^ 1 de [math] x [/ math] (funciones con una derivada continua).

El secreto son los logaritmos:

[matemáticas] \ displaystyle \ log {f (x)} = b (x) \ log {a (x)} [/ math]

Ahora diferenciar ambos lados. Para el RHS necesitará la regla del producto:

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {f ‘(x)} {f (x)} = b’ (x) \ log {a (x)} + b (x) \ frac {a ‘(x)} {a (x)} [/ matemáticas]

Ahora multiplique ambos lados por f (x) y sustituya [math] f (x) = a (x) ^ {b (x)} [/ math] en el RHS.

[matemáticas] y = a (x) ^ {b (x)} \ iff y = e ^ {b (x) \ mbox {ln} a (x)} \ implica y ‘= e ^ {b (x) \ mbox {ln} a (x)} \ left (b ‘(x) \ mbox {ln} a (x) + b (x) \ frac {a’ (x)} {a (x)} \ right) = a (x) ^ {b (x)} \ left (b ‘(x) \ mbox {ln} a (x) + b (x) \ frac {a’ (x)} {a (x)} \ right ).[/matemáticas]