¿Cuál es una derivada de la función como y = (a [x]) ^ (b [x])?
Esta es una copia ligeramente editada de la respuesta que escribí a “¿Cómo diferenciar [matemáticas] (\ sqrt {x}) ^ {\ sqrt {x}} [/ matemáticas]?”:
Todos los que han estudiado cálculo conocen estas dos reglas (son reglas básicas, combinadas con una aplicación de la regla de la cadena):
- [matemáticas] \ frac {d} {dx} \ left (f (x) ^ b \ right) = \ color {red} {bf (x) ^ {b-1} \ cdot f ‘(x)} [/ matemáticas] (una función elevada a una potencia constante)
- [matemáticas] \ frac {d} {dx} \ left (a ^ {g (x)} \ right) = \ color {blue} {a ^ {g (x)} \ ln a \ cdot g ‘(x) } [/ math] (una constante elevada al poder de una función)
Hay una regla menos conocida que se aplica cuando tanto la base como el exponente son funciones (no constantes); Básicamente es solo la suma de las dos reglas anteriores:
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- [matemáticas] \ frac {d} {dx} \ left (f (x) ^ {g (x)} \ right) = \ color {red} {g (x) f (x) ^ {g (x) – 1} \ cdot f ‘(x)} + \ color {azul} {f (x) ^ {g (x)} \ ln f (x) \ cdot g’ (x)} [/ math]
Podemos sacar el factor común de [matemáticas] f (x) ^ {g (x) -1} [/ matemáticas], dejando
- [matemáticas] \ boxed {\ frac {d} {dx} \ left (f (x) ^ {g (x)} \ right) = f (x) ^ {g (x) -1} \ left (g ( x) f ‘(x) + f (x) g’ (x) \ ln f (x) \ right)} [/ math]
Puede que no valga la pena memorizar esta regla general (que puede probarse utilizando métodos de diferenciación logarítmica), pero no es demasiado grande más allá de las dos reglas básicas enumeradas anteriormente, y hace un trabajo corto de problemas como estos:
- [matemáticas] \ frac {d} {dx} \ left ({\ sqrt x} ^ {\ sqrt x} \ right) = \ frac {1} {2} \ sqrt x ^ {\ sqrt x-1} \ left (1 + \ frac {1} {2} \ ln x \ right) [/ math]: tenga en cuenta que [math] g (x) f ‘(x) = f (x) g’ (x) = \ frac { 1} {2} [/ matemáticas].
- [matemáticas] \ frac {d} {dx} \ left ((\ cos x) ^ {\ sin x} \ right) = (\ cos x) ^ {\ sin x-1} \ left (- \ sin ^ 2x + \ cos ^ 2x \ cdot \ ln \ sin x \ right) [/ math]
- [matemáticas] \ frac {d} {dx} \ left ((x ^ 2 + 1) ^ {(e ^ x)} \ right) = (x ^ 2 + 1) ^ {(e ^ x-1)} \ left (2xe ^ x + x ^ 2e ^ x \ ln (x ^ 2 + 1) \ right) [/ math]