Si su ecuación es homogénea, la resolvemos poniendo la conjetura [matemática] y = [/ matemática] [matemática] x ^ r [/ matemática] en la ecuación y luego resolvemos el polinomio formado en r. Dependiendo de las raíces ayb de r (si su ecuación es de segundo orden), tendremos tres casos:
- Las raíces son distintas, entonces la solución es [matemática] c1 * [/ matemática] [matemática] x ^ a + c2 * x ^ b [/ matemática]
- Las raíces son complejas, entonces también la solución es [matemáticas] c1 * x ^ a + c2 * x ^ b [/ matemáticas] pero necesita simplificarlo más en términos de cosenos y senos.
Para raíces iguales (a = b), la primera solución linealmente independiente será [matemática] c1 * x ^ a [/ matemática] y la segunda solución linealmente independiente será [matemática] c2 * l [/ matemática] [matemática] nx * x ^ a [/ math] (se puede probar fácilmente). Por lo tanto, la solución total es la suma de estos dos.
Tenga en cuenta que [math] c1 [/ math] y [math] c2 [/ math] son constantes arbitrarias
Si su ecuación no es homogénea, realice la transformación [matemática] x = e ^ t [/ matemática] en la ecuación. Convierta todos los operadores derivados de x en la variable tt usando la regla de la cadena. Resuelva la ecuación diferencial resultante con coeficientes constantes como de costumbre. Finalmente, en su solución, reemplace t por [math] lnx [/ math] para obtener su solución en términos de x.
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