¿Cuál es la ecuación de la recta tangente desde el punto [matemática] P (0,4) [/ matemática] a la curva [matemática] y = \ sqrt {9-x ^ 2} [/ matemática]?

Answer 1

En su sentido matemático, este problema, sin lugar a dudas, no se acerca ni siquiera al más simple de los problemas olímpicos (de todos los tiempos), pero en espíritu, si eliges adoptar esa postura, es muy cierto:

encontrar una solución elemental bien disfrazada (a un problema difícil)

Antes de seguir leyendo y pensar, ¿ves alguna?

Razón sin papel. Solo en el ojo de tu mente.

---

Voté la respuesta de Doug Dillon y el crédito por lo que sigue va para él.

Entonces, mientras miraba los números del Sr. Dillon, estaba pensando:

– … hm … cuadrado … raíz … de … siete … eh … sobre … tres …

Como Alon lo dice acertadamente, estaba escuchando la música pero no estaba muy seguro de cuál era la melodía.

Puedo explicar tres. Ese es el radio. ¿Pero la raíz cuadrada de siete ? Claro, es un buen número primo. Pero de dónde vino …

Aaaaaaaa … Ya lo veo. Un rectángulo en la secante es un cuadrado en la tangente, un teorema computacionalmente barato también conocido como la Proposición 36 del Libro 3 de Euclides:

[matemáticas] 1 \ cdot (1 + 3 + 3) = t ^ 2 \ etiqueta {1} [/ matemáticas]

[matemáticas] t = \ pm \ sqrt {7} \ etiqueta {2} [/ matemáticas]

¿Doble verificación? Por el teorema de Pitágoras un poco más caro:

[matemáticas] (1 + 3) ^ 2 – 3 ^ 2 = 7 \ etiqueta {3} [/ matemáticas]

---

Bisecte el segmento de línea [matemática] OP [/ matemática] con [matemática] b [/ matemática] para ubicar el punto de su intersección en el eje [matemática] y [/ matemática] [matemática] (0, 2) [/ matemáticas]:

Construya un círculo [matemática] s [/ matemática] con el centro en [matemática] (0, 2) [/ matemática] y el radio [matemática] 2 [/ matemática] para ubicar los puntos [matemática] A [/ matemática] y [matemáticas] B [/ matemáticas]:

Según el Teorema de Thales, también conocido como la Proposición 31 del Libro 3 de Euclides, el ángulo en [matemáticas] A [/ matemáticas], que subtiende el diámetro [matemáticas] OP [/ matemáticas], es correcto, justo lo que necesitamos para una tangente.

Luego viene el paso popular en la resolución de problemas: introduzca un elemento auxiliar que originalmente no estaba presente pero que es útil: complete el círculo, que se muestra en verde, para configurar el teorema B3P36 :

La secante ahora es [matemática] PD [/ matemática] tal que [matemática] | PD | = 7 [/ matemáticas]. Junto con [matemáticas] | PC | = 1 [/ math] por B3P36 tenemos:

[matemáticas] | PD | \ cdot | PC | = | PA | ^ 2 \ etiqueta * {} [/ matemáticas]

[matemáticas] | PA | = \ sqrt {7} \ tag * {} [/ math]

(también a través de Pitágoras desde [math] \ triangle PAO [/ math]).

Por último, a la derecha, por construcción, los triángulos [matemática] PAO [/ matemática] y [matemática] POX_a [/ matemática] son ​​similares, la tangente, como función trigonométrica, del ángulo [matemática] \ theta [/ matemática], por definición de [math] \ triangle PAO [/ math], es [math] \ sqrt {7} [/ math] sobre [math] 3 [/ math], la intercepción [math] y [/ math] es [ matemáticas] 4 [/ matemáticas] y las ecuaciones de las líneas rectas tangentes buscadas son:

[matemáticas] y = \ pm \ dfrac {\ sqrt {7}} {3} x + 4 \ tag * {} [/ matemáticas]

Answer 2

Recientemente publiqué Cálculo sin límites, una forma de hacer cálculo diferencial usando solo Álgebra I. Funciona bien en curvas algebraicas.

Aquí vemos un problema con la forma tradicional. El círculo [matemáticas] x ^ 2 + y ^ 2 = 9 [/ matemáticas] tuvo que convertirse en una función, que solo nos da un semicírculo. Usando Cálculo sin límites podemos trabajar directamente con la curva algebraica.

Sea [matemática] f (x, y) = x ^ 2 + y ^ 2 – 9. [/ matemática] Estamos interesados ​​en la curva [matemática] f (x, y) = 0. [/ Matemática]

Para hacer CWL formamos [matemáticas] f (x + r, y + s) [/ matemáticas]:

[matemáticas] f (x + r, y + s) = (x + r) ^ 2 + (y + s) ^ 2 – 9 [/ matemáticas]

[matemáticas] = x ^ 2 + 2xr + r ^ 2 + y ^ 2 + 2ys + s ^ 2 – 9 [/ matemáticas]

[matemáticas] = (r ^ 2 + s ^ 2 – 9) + (2r \, x + 2s \, y) + (x ^ 2 + y ^ 2) [/ matemáticas]

Utilicé paréntesis para agrupar los términos en orden creciente en [matemáticas] x [/ matemáticas] y [matemáticas] y. [/ Matemáticas] Solo necesitaremos los términos constantes [matemáticas] f (r, s) [/ matemáticas] y los términos lineales para la línea tangente.

Ahora sustituimos [math] xr [/ math] por [math] x [/ math] y [math] ys [/ math] por [math] y [/ math] para obtener la expansión Taylor de [math] f (x , y) [/ math] alrededor de [math] (r, s). [/ math]

[matemáticas] f (x, y) = f ((xr) + r, (ys) + s) [/ matemáticas]

[matemáticas] f (x, y) = f (r, s) + 2r (xr) + 2s (ys) + (xr) ^ 2 + (ys) ^ 2 [/ matemáticas]

Para la línea tangente, soltamos los términos cuadráticos y establecemos el resto en cero:

[matemáticas] 0 = f (r, s) + 2r (xr) + 2s (ys) [/ matemáticas]

Queremos que [math] (x, y) = (0,4) [/ math] esté en esta línea.

[matemáticas] 0 = (r ^ 2 + s ^ 2 – 9) + 2r (0 – r) + 2s (4 – s) [/ matemáticas]

[matemática] 0 = r ^ 2 + s ^ 2 – 9 – 2r ^ 2 + 8 s – 2s ^ 2 = -r ^ 2 – s ^ 2 + 8s – 9 [/ matemática]

Necesitamos otra ecuación, a saber, [math] (r, s) [/ math] está en la curva, [math] f (r, s) = 0. [/ Math]

[matemáticas] r ^ 2 + s ^ 2 – 9 = 0 [/ matemáticas]

Agregar ecuaciones,

[matemáticas] 8s -9 -9 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] 8s = 18 [/ matemáticas]

[matemáticas] s = \ frac 9 4 [/ matemáticas]

Eso es positivo, así que estamos en el semicírculo correcto.

[matemáticas] r ^ 2 + 81/16 – 9 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] r ^ 2 = 63/16 [/ matemáticas]

[matemáticas] r = \ pm \ frac 3 4 \ sqrt {7} [/ matemáticas]

Entonces, en realidad obtenemos dos líneas tangentes. Sabemos [matemática] f (r, s) = 0 [/ matemática] por lo que las líneas tangentes son:

[matemáticas] 0 = \ frac 3 2 \ sqrt {7} (x- \ frac 3 4 \ sqrt {7}) + \ frac 9 2 (y- \ frac 9 4) [/ matemáticas]

[matemáticas] 0 = – \ frac 3 2 \ sqrt {7} (x + \ frac 3 4 \ sqrt {7}) + \ frac 9 2 (y- \ frac 9 4) [/ matemáticas]

Te dejaré simplificando para ti.

Comprobación: hagamos que Alpha trace todo:

Hicimos cálculos en curvas algebraicas usando solo matemáticas de secundaria.

Answer 3

Cada vez que vea una pregunta que involucre tangentes, su reacción inmediata debe ser pensar: “tangente, entonces una solución, entonces el discriminante es cero”. Por supuesto, hay otras formas de resolver el problema, y ​​este método falla si no obtenemos un resultado cuadrático, pero por ahora será perfecto.

Cualquier línea que pase por el punto [matemática] P [/ matemática] tiene la ecuación general [matemática] y = mx + 4 [/ matemática], donde [matemática] m [/ matemática] es alguna constante constante. Por lo tanto, podemos sustituir esto en nuestra otra ecuación para obtener

[matemáticas] mx + 4 = \ sqrt {9-x ^ 2} \ etiqueta * {} [/ matemáticas]

Cuadrar y reorganizar da

[matemáticas] x ^ 2 (m ^ 2 + 1) + 8mx + 7 = 0 \ etiqueta * {} [/ matemáticas]

(como siempre, me he saltado algunos pasos en el álgebra que animo al lector a completar).

Esta ecuación tiene exactamente una solución ya que la línea es una tangente, por lo que el discriminante debe ser cero. Eso significa

[matemática] (8m) ^ 2 – 4 (7) (m ^ 2 + 1) = 0 \ etiqueta * {} [/ matemática]

Nuevamente, le animo a que revise el álgebra, pero esto resuelve para obtener [math] m = \ pm \ frac {1} {3} \ sqrt {7} [/ math]. Por lo tanto, la ecuación de la tangente es

[matemáticas] y = \ pm \ frac {1} {3} \ sqrt {7} x + 4 \ tag * {} [/ matemáticas]

Podemos verificar la respuesta graficando la curva y las líneas tangentes, así:

Imagen tomada del gráfico Desmos

Answer 4

Deje que la ecuación de la tangente sea [matemática] y = mx + 4 [/ matemática]. Esta línea y la curva solo pueden cruzarse, localmente, en 1 lugar. Así que examine [matemáticas] mx + 4 = \ sqrt {9-x ^ 2} [/ matemáticas] o más bien [matemáticas] m ^ 2x ^ 2 + 8mx + 16 = 9-x ^ 2 [/ matemáticas]. Reorganizando,

[matemáticas] (m ^ 2 + 1) x ^ 2 + 8mx + 7 = 0 [/ matemáticas]

cuyo discriminante debe ser [matemáticas] 0 [/ matemáticas]. Entonces

[matemáticas] 64m ^ 2–28m ^ 2–28 = 0 [/ matemáticas] y así [matemáticas] m = \ pm \ frac {{\ sqrt 7}} {3} [/ matemáticas]

y las ecuaciones de las tangentes son [matemáticas] y = \ pm \ frac {{\ sqrt 7}} {3} x + 4 [/ matemáticas]

Answer 5

La pendiente de una curva en cualquier punto es su derivada.

[matemáticas] \ frac {d} {dx} \ sqrt {9-x ^ 2} = \ dfrac {-x} {\ sqrt {9-x ^ 2}} [/ matemáticas]

En [matemáticas] P (0,4) [/ matemáticas] [matemáticas] x = 0, y = 4 [/ matemáticas]

Poniendo este valor en la derivada

[matemáticas] \ dfrac {dy} {dx} = \ dfrac {-0} {\ sqrt {9-0 ^ 2}} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ dfrac {dy} {dx} = 0 [/ matemáticas]

Entonces, la pendiente de la línea de tangencia en [matemáticas] P (0, 4) [/ matemáticas] es [matemáticas] 0 [/ matemáticas]

Además, la ecuación de cualquier línea es:

[matemática] y – y_1 = m (x-x_1) [/ matemática], donde [matemática] m [/ matemática] = pendiente, [matemática] (x_1, y_1) [/ matemática] es un punto en la línea

Ahora, la tangente tiene una pendiente [matemática] 0 [/ matemática] y pasa por [matemática] (0, 4) [/ matemática]

Por lo tanto [matemática] y – 4 = 0 (x – 0) [/ matemática]

[matemática] y = 4 [/ matemática] es la ecuación de la recta tangente

Answer 6

Esto se puede resolver con un poco de geometría. La curva [math] y = \ sqrt {9-x ^ 2} [/ math] es un radio de semicírculo 3 alrededor del origen. El siguiente gráfico ilustra cómo podemos calcular las líneas tangentes requeridas:

A es el punto P (0,4), por lo que las líneas tangentes azul y púrpura son las que nos interesan en las ecuaciones.

Todo lo que necesitamos calcular es el gradiente. Tomemos la línea azul, para la cual el gradiente es solo [matemáticas] – \ frac {AO} {CO} [/ matemáticas]. Como la curva es un círculo alrededor de O, sabemos que [math] ABO [/ math] es un ángulo recto. Entonces, el triángulo [matemático] ABO [/ matemático] es similar al triángulo [matemático] AOC [/ matemático] y por lo tanto [matemático] \ frac {AO} {CO} = \ frac {AB} {OB} [/ matemático]. [matemática] OA [/ matemática] es 4, [matemática] OB [/ matemática] es un radio y por lo tanto 3, entonces [matemática] AB [/ matemática] es [matemática] \ sqrt {4 ^ 2-3 ^ 2} = \ sqrt {7} [/ matemáticas]. Por lo tanto, el gradiente es [matemática] – [/ matemática] [matemática] \ frac {AB} {OB} = – \ frac {\ sqrt {7}} {3}. [/ Matemática]

La línea [math] AC [/ math] pasa a través de (0, 4), y también la ecuación:

[matemáticas] \ qquad y = 4 – \ dfrac {\ sqrt {7}} {3} x [/ matemáticas]

La línea alternativa de la tangente púrpura [matemática] AD [/ matemática] es la misma con gradiente positivo por simetría:

[matemáticas] \ qquad y = 4 + \ dfrac {\ sqrt {7}} {3} x [/ matemáticas]

Answer 7

⑴ El gráfico de f (x) es un semicírculo de radio 3, centrado en el origen O.

⑵ Llame a T como el punto de contacto tangente en la 2da.

⑶ Deje que la tangente corte el eje x en Q y deje que ∠OQP = θ

⑷ In⊿ PTO, PT = √7, ∠POT = θ, tan θ = √7 / 3

⑸ deje que la pendiente del tagent PTQ sea m = tanθ = √7 / 3

⑹ ∴ La ecuación de la tangente PTQ es:

y = (√7 / 3) x +4

⑺ La ecuación de la otra tangente sería y = – (√7 / 3) x +4

Answer 8

Si tiene acceso a un tutor de matemáticas competente, él puede decirle la forma de la ecuación de una línea recta a través de [matemáticas] (x_0, y_0) [/ matemáticas] con pendiente [matemáticas] m [/ matemáticas]. Una tangente a una curva toca la curva y tiene una pendiente igual a la derivada en ese punto, entonces [math] y_0 = \ sqrt {9-x_0 ^ 2} [/ math], y [math] m [/ math] es igual a la derivada, evaluada en [math] x_0 [/ math].

Ahora tiene una ecuación con tres incógnitas, [matemática] x [/ matemática], [matemática] y [/ matemática] y [matemática] x_0 [/ matemática], que representan todas las líneas tangentes. La tangente particular que desea pasa por el punto [matemática] x = 0 [/ matemática], [matemática] y = 4 [/ matemática] – eso arreglará [matemática] x_0 [/ matemática].

Answer 9

Esta ecuación representa un círculo de radio 3- ecuación de tengent 4y-9 = 0