Las funciones cuadráticas bajo el módulo deben manejarse de manera diferente.
Antes de llegar a la pregunta central, reorganicemos rápidamente el módulo y verifiquemos las respuestas.
Sabemos que [matemáticas] | f (x) | = f (x), f (x) \ geq 0 [/ matemáticas] y [matemáticas] | f (x) | = -f (x), f (x) <0 [/ matemáticas]
[matemáticas] x ^ 2 – x – 6 = (x + 2) (x – 3) [/ matemáticas]
- Cómo resolver: [matemáticas] \ dfrac {d} {dx} \ left (\ dfrac {a + b \ sin (x)} {c + d \ cos (x)} \ right) [/ math]
- ¿Cuál es la solución integral de [matemáticas] a ^ 3 + b ^ 3 = c ^ 3 [/ matemáticas]?
- ¿Por qué es difícil estudiar ecuaciones inorgánicas que ecuaciones orgánicas?
- Cómo encontrar la solución general para la ecuación diferencial [matemáticas] y ^ {(4)} + 2y ^ {(2)} + y = 0 [/ matemáticas]
- ¿Qué significa la diferenciación en el cálculo?
Entonces nuestros intervalos para
[matemática] f (x) \ geq 0 [/ matemática] es [matemática] (- \ infty, -2] \ cup [3, + \ infty) [/ matemática] y para
[matemática] f (x) <0 [/ matemática] es [matemática] ([/ matemática] [matemática] -2, 3) [/ matemática]
Caso 1: [matemáticas] x \ in (- \ infty, -2] \ cup [3, + \ infty) [/ math]
[matemáticas] x ^ 2 – x – 6 = x + 2 [/ matemáticas] o [matemáticas] x ^ 2 – 2x – 8 = 0 [/ matemáticas]
Las raíces son [matemáticas] x = -2, 4. [/ matemáticas] AMBAS raíces pertenecen a nuestro intervalo. Entonces [matemáticas] x = -2, 4 [/ matemáticas].
Caso 2: [matemáticas] x \ in (-2, 3) [/ matemáticas]
[matemáticas] – (x ^ 2 – x – 6) = x + 2 [/ matemáticas] o – [matemáticas] x ^ 2 + 4 = 0 [/ matemáticas]
Las raíces son [matemáticas] x = -2, 2. [/ matemáticas] [matemáticas] x = -2 [/ matemáticas] NO pertenece a nuestro intervalo. Entonces [matemáticas] x = 2 [/ matemáticas] SOLAMENTE.
Para confirmar, veamos también el gráfico:
El rojo es el gráfico de [matemáticas] y = [/ matemáticas] [matemáticas] | [/ matemáticas] [matemáticas] x ^ 2 – x – 6 | [/ matemáticas] y el amarillo es la línea recta [matemáticas] y = x + 2. [/ matemáticas]
Solo vemos tres intersecciones y ahora podemos confirmar SOLO tres raíces. En este caso, [math] x = -2 [/ math] NO es una raíz repetida. Podemos contarlo solo una vez.
En cuanto a la ecuación [matemática] ([/ matemática] [matemática] x – 2) ^ 2 = 0 [/ matemática], HAY dos raíces, solo que son iguales. Entonces [math] x = 2 [/ math] se convierte en una raíz repetida. Lo contamos dos veces.
Espero que esto haya ayudado.
Gracias por el A2A!