Cómo encontrar la solución general para la ecuación diferencial [matemáticas] y ^ {(4)} + 2y ^ {(2)} + y = 0 [/ matemáticas]

Una forma más inteligente de hacer que resolver un ODE de cuarto orden es observar:

[matemáticas] z = y + y ” [/ matemáticas]. Observe entonces que [matemáticas] y ^ {(4)} + 2y ” + y = 0 \ iff z ” + z = 0. [/ Matemáticas]

Este es simplemente un viejo oscilador armónico , si eso te hace sentir la intuición de tu físico.

Obtiene [math] z = A \ cos + B \ sin [/ math] para [math] A, B \ in \ mathbb K [/ math] donde [math] \ mathbb K [/ math] es el campo que eligió trabajar en.

Finalmente, resuelva la ecuación [math] y ” + y = z [/ math], donde se acaba de encontrar z, y donde puede usar las técnicas clásicas para ODE homogéneas de segundo orden.

Puede ser más inteligente escribir z en la forma [math] z (x) = Ae ^ {ix} + Be ^ {- ix} [/ math] y luego ver si i y -i son raíces del polinomio característico del segunda ecuación Como lo son, use el teorema de superposición de soluciones .

Concretamente, resuelva [math] y ” + y = Ae ^ {ix} [/ math] y [math] y ” + y = Be ^ {- ix} [/ math] independientemente y luego sume los dos conjuntos de soluciones a Obtenga su conjunto final de soluciones.

(Es una buena intuición que en este punto debe hacer una variación de los parámetros)

En términos más generales, puede ver dónde se pueden simplificar las EDO de orden superior: reemplace [matemática] y ^ {(k)} [/ matemática] por [matemática] y ^ k [/ matemática] como un número, y vea si reconoce alguna identidad.

Aquí hay otro ejemplo:

Resuelva [matemáticas] y ^ {(3)} + xy ” + 3y ‘+ xy = 0 [/ matemáticas] planteando [matemáticas] z (x) = y’ (x) + xy (x) [/ matemáticas]

* A2A

[matemáticas] y ^ {(4)} + 2y ” + y = 0 [/ matemáticas]

Ecuación auxiliar:

[matemáticas] m ^ 4 + 2m ^ 2 + 1 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica (m ^ 2 + 1) ^ 2 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica m ^ 2 = -1, -1 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica m = \ pm i, \ pm i [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica y = A (\ cos x + \ sin x) + Bx (\ cos x + \ sin x) + C (\ cos x- \ sin x) + Dx (\ cos x- \ sin x) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica y = (A + Bx + C + Dx) \ cos x + (A + Bx-C-Dx) \ sen x [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica y = (A + C + (B + D) x) \ cos x + (A-C + (BD) x) \ sen x [/ matemáticas]


Deje que [matemáticas] A + C = c_1, B + D = c_2, AC = c_3, BD = c_4 [/ matemáticas] y tenemos

[matemáticas] y = (c_1 + c_2x) \ cos x + (c_3 + c_4x) \ sin x \ tag {*} [/ matemáticas]

¡He terminado!

comprobar si es correcto

Hacer la sustitución y ” = z