¿Qué significa la diferenciación en el cálculo?

Answer 1

La diferenciación es una herramienta muy poderosa en el cálculo; la tasa de cambio de algo es muy importante, por ejemplo, si conduce su automóvil a una velocidad de cuatro metros por segundo, sabe cuánta distancia recorrerá en cualquier momento t. Dado que no cambia su velocidad, pero esto no sucede. El mundo real es mucho más complejo, es algo imposible moverse a una velocidad constante, siempre hay algo que se interpone en su camino por la resistencia al aire de fricción, etc. Consideremos un caso simple que está conduciendo y observa que su posición x siempre es aproximadamente el cuadrado del tiempo en cualquier punto x = t ^ 2 ahora, ¿cómo puede encontrar qué tan rápido se está moviendo en cualquier punto que necesita para encontrar la velocidad? de cambio de su posición lo diferencia en este caso es dx / dt = 2t y si toma la derivada de esto le da su aceleración que es x ” = 2

1. Ahora, si solo desea un ejemplo en el campo de las matemáticas, la derivada de una función le da a la pendiente de la línea tangente a esa función en cualquier punto, la misma velocidad se puede usar aquí, digamos que desea encontrar la raíz cuadrada de (4.2) ahora ya sabes la raíz cuadrada de cuatro, que es dos, y ahora, si supieras la velocidad de esta función en ese momento, puedes suponer que se mantendrá a esa velocidad por un corto tiempo, ahora puedes usar esto para aproximar el valor de 4.2 ^ .5 ¿cuánta distancia (tiempo) ha cubierto la función al pasar de 4 a 4.2 ??, ahora es 0.2 si multiplica esta distancia (tiempo) a esa velocidad y la suma al valor de la función a las cuatro, será capaz de aproximar el valor de s, resolvamos este caso, la derivada de la raíz cuadrada de x es 1 / (2 (x ^ 0.5)) ahora evaluémosla a las cuatro, es 1/4 o 0.25, multiplíquela por 0.2 o 1/5, obtenga 1 / 20 o 0.05 agregarlo a dos es 2.05 calculadora da el valor 2.0493 por lo que el valor que obtuvimos está bastante cerca
2. Este concepto es muy útil en la banca o la economía.
3. También puede ser útil para evaluar el máximo o mínimo de una función. Tome esta analogía cuando esté lleno y no pueda comer más, su tasa de alimentación se vuelve cero o cuando está vacío y no come nada, su tasa de alimentación también se vuelve cero. configurando la derivada de una función cero podemos obtener el valor de x para el cual es máximo o mínimo.
4. Esta es una lista relativamente corta para los usos que tiene la derivada. Es algo mágico.
5. Si desea saber qué es realmente un derivado o su definición formal, no dude en preguntar

Answer 2

¿Conoces la fórmula de la pendiente? [matemática] pendiente = \ frac {height_2-height_1} {distance_2-distance_1} [/ math]? ¿Por qué no aplicamos eso a las funciones? [matemáticas] pendiente = \ frac {f (x_2) -f (x_1)} {x_2-x_1} [/ matemáticas].

Ahora, ¿qué sucede si llamamos a [matemáticas] x_1 [/ matemáticas] x y [matemáticas] x_2 [/ matemáticas] [matemáticas] x + h [/ matemáticas]?

[matemática] pendiente = \ frac {f (x + h) -f (x)} {h} [/ matemática]

Y a medida que h se acerca a 0, esto se acerca a la derivada.

Answer 3

Los derivados son aproximaciones lineales en un punto. Los operadores lineales tienen muchas propiedades agradables que ayudan a probar teoremas.

Ser diferenciable hace que una función sea mucho más “regular”. Con la derivada puedes hacer muchas declaraciones sobre la función. El supremum de la derivada también da un límite superior a cuánto puede diferir la función en un conjunto compacto. Muy útil para demostrar desigualdades o hacer declaraciones de existencia sobre “vecindarios lo suficientemente pequeños”.

Por supuesto, hay mucho más, por ejemplo, el teorema de Stokes.