Cómo encontrar la solución general para el sistema de ecuaciones [matemáticas] 2x + 2y + 3z + 4t = 2 [/ matemáticas], [matemáticas] 2x + 3y + 4z + 6t = 0 [/ matemáticas], [matemáticas] [/ matemática] [matemática] 3x + 4y + 5z + 6t = 1 [/ matemática], [matemática] x + y + z + t = 1 [/ matemática]

Answer 1

Sé que este puede no ser el método más eficiente para resolver el sistema de ecuaciones, pero personalmente prefiero las matrices y la eliminación de Gauss-Jordan al hacer este tipo de preguntas.

Primero desea poner los coeficientes en una matriz aumentada con la última fila como el lado derecho de la ecuación.

[matemáticas] \ begin {bmatrix} 2 y 2 y 3 y 4 y 2 \\ 2 y 3 y 4 y 6 y 0 \\ 3 y 4 y 5 y 6 y 1 \\ 1 y 1 y 1 y 1 y 1 \ end {bmatrix} [/ math]

Desde aquí, puede aplicar una serie de operaciones de fila para convertirlo en forma escalonada de fila reducida. Es decir, desea que las primeras cuatro columnas tengan una diagonal de [math] 1 [/ math] similar a esta:

[matemáticas] \ begin {bmatrix} 1 y 0 y 0 y 0 y x \\ 0 y 1 y 0 y 0 y y \\ 0 y 0 y 1 y 0 y z \\ 0 y 0 y 0 y 1 y t \ end {bmatrix} [/ math]

Recuerde que las tres operaciones elementales de fila intercambian dos filas, multiplican una fila por un número, y multiplican una fila por un número y lo agregan a otra fila.

Primero, simplemente puede intercambiar la primera y cuarta fila para obtener [math] a_ {11} [/ math] (es decir, la entrada en la fila 1 columna 1) para convertirse en [math] 1 [/ math]. Luego, puede multiplicar la primera fila por [matemática] -2 [/ matemática] y agregarla a la segunda fila para obtener una [matemática] 0 [/ matemática] en [matemática] a_ {21} [/ matemática] . Repita con un proceso similar para obtener un [matemático] 0 [/ matemático] en [matemático] a_ {31} [/ matemático] y [matemático] a_ {41} [/ matemático].

[matemáticas] \ begin {bmatrix} 2 y 2 y 3 y 4 y 2 \\ 2 y 3 y 4 y 6 y 0 \\ 3 y 4 y 5 y 6 y 1 \\ 1 y 1 y 1 y 1 y 1 \ end {bmatrix} \ rightarrow \ begin {bmatrix} 1 y 1 y 1 y 1 y 1 \\ 2 y 3 y 4 y 6 y 0 \\ 3 y 4 y 5 y 6 y 1 \\ 2 y 2 y 3 & 4 y 2 \ end {bmatrix} [/ math]

[matemáticas] \ begin {bmatrix} 1 y 1 y 1 y 1 y 1 \\ 2 y 3 y 4 y 6 y 0 \\ 3 y 4 y 5 y 6 y 1 \\ 2 y 2 y 3 y 4 y 2 \ end {bmatrix} \ rightarrow \ begin {bmatrix} 1 y 1 y 1 y 1 y 1 \\ 0 y 1 y 2 y 4 y -2 \\ 3 y 4 y 5 y 6 y 1 \\ 2 y 2 y 3 y 4 y 2 \ end {bmatrix} [/ math]

[matemáticas] \ begin {bmatrix} 1 y 1 y 1 y 1 y 1 \\ 0 y 1 y 2 y 4 y -2 \\ 3 y 4 y 5 y 6 y 1 \\ 2 y 2 y 3 y 4 y 2 \ end {bmatrix} \ rightarrow \ begin {bmatrix} 1 y 1 y 1 y 1 y 1 \\ 0 y 1 y 2 y 4 y -2 \\ 0 y 1 y 2 y 3 y -2 \\ 2 & 2 y 3 y 4 y 2 \ end {bmatrix} [/ math]

[matemáticas] \ begin {bmatrix} 1 y 1 y 1 y 1 y 1 \\ 0 y 1 y 2 y 4 y -2 \\ 0 y 1 y 2 y 3 y -2 \\ 2 y 2 y 3 y 4 & 2 \ end {bmatrix} \ rightarrow \ begin {bmatrix} 1 y 1 y 1 y 1 y 1 \\ 0 y 1 y 2 y 4 y -2 \\ 0 y 1 y 2 y 3 y -2 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 0 \ end {bmatrix} [/ math]

Estas operaciones de fila están indicadas con [math] R_1 \ leftrightarrow R_4 [/ math], [math] R_2-2R_1 \ rightarrow R_2 [/ math], [math] R_3-3R_1 \ rightarrow R_3 [/ math] y [math] R_4-2R_1 \ rightarrow R_4 [/ math], respectivamente.

Como ya hay un [math] 1 [/ math] en [math] a_ {22} [/ math], no tenemos que multiplicar la segunda fila para lograrlo. Desea repetir el primer paso multiplicando la segunda fila por un número y agregándolo a la primera, tercera y cuarta filas para obtener un [math] 0 [/ math] en [math] a_ {12} [/ matemática], [matemática] a_ {32} [/ matemática] y [matemática] a_ {42} [/ matemática]. Voy a hacer todo esto en un solo paso para ahorrar espacio, pero espero que entiendan los pasos que estoy tomando.

[matemáticas] \ begin {bmatrix} 1 y 1 y 1 y 1 y 1 \\ 0 y 1 y 2 y 4 y -2 \\ 0 y 1 y 2 y 3 y -2 \\ 0 y 0 y 1 y 2 & 0 \ end {bmatrix} \ rightarrow \ begin {bmatrix} 1 y 0 y -1 y -3 y 3 \\ 0 y 1 y 2 y 4 y -2 \\ 0 y 0 y 0 y -1 y 0 \ \ 0 & 0 & 1 & 2 & 0 \ end {bmatrix} [/ math]

Tenga en cuenta que la última fila no tuvo que cambiarse ya que ya había un [math] 0 [/ math] en [math] a_ {42} [/ math]. Las operaciones de la fila fueron las siguientes: [matemática] R_1-R_2 \ rightarrow R_1 [/ math] y [math] R_3-R_2 \ rightarrow R_3 [/ math].

Repitiendo el mismo proceso para la tercera columna, simplemente podemos cambiar las filas tercera y cuarta para tener una [matemática] 1 [/ matemática] en [matemática] a_ {33} [/ matemática]. Luego, repita el mismo proceso que hizo con las dos primeras columnas.

[matemáticas] \ begin {bmatrix} 1 y 0 y -1 y -3 y 3 \\ 0 y 1 y 2 y 4 y -2 \\ 0 y 0 y 0 y -1 y 0 \\ 0 y 0 y 1 & 2 & 0 \ end {bmatrix} \ rightarrow \ begin {bmatrix} 1 y 0 y -1 y -3 y 3 \\ 0 y 1 y 2 y 4 y -2 \\ 0 y 0 y 1 y 2 y 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 & 0 \ end {bmatrix} [/ math]

[matemáticas] \ begin {bmatrix} 1 y 0 y -1 y -3 y 3 \\ 0 y 1 y 2 y 4 y -2 \\ 0 y 0 y 1 y 2 y 0 \\ 0 y 0 y 0 y -1 y 0 \ end {bmatrix} \ rightarrow \ begin {bmatrix} 1 y 0 y 0 y -1 y 3 \\ 0 y 1 y 0 y 0 y -2 \\ 0 y 0 y 1 y 2 y 0 \ \ 0 & 0 & 0 & -1 & 0 \ end {bmatrix} [/ math]

De nuevo, las operaciones de la fila fueron [matemáticas] R_3 \ leftrightarrow R_4 [/ matemáticas], [matemáticas] R_1 + R_3 \ rightarrow R_1 [/ matemáticas] y [matemáticas] R_2-2R_3 \ rightarrow R_2 [/ matemáticas]. No tuvimos que hacer nada con [matemáticas] R_4 [/ matemáticas] esta vez.

Finalmente, dado que hay [matemática] -1 [/ matemática] en lugar de [matemática] 1 [/ matemática] en [matemática] a_ {44} [/ matemática], podemos multiplicar la totalidad de [matemática] R_4 [ / math] por [math] -1 [/ math] para obtener uno en esa posición. Repite otra vez.

[matemáticas] \ begin {bmatrix} 1 y 0 y 0 y -1 y 3 \\ 0 y 1 y 0 y 0 y -2 \\ 0 y 0 y 1 y 2 y 0 \\ 0 y 0 y 0 & – 1 y 0 \ end {bmatrix} \ rightarrow \ begin {bmatrix} 1 y 0 y 0 y -1 y 3 \\ 0 y 1 y 0 y 0 y -2 \\ 0 y 0 y 1 y 2 y 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \ end {bmatrix} [/ math]

[matemáticas] \ begin {bmatrix} 1 y 0 y 0 y -1 y 3 \\ 0 y 1 y 0 y 0 y -2 \\ 0 y 0 y 1 y 2 y 0 \\ 0 y 0 y 0 y 1 & 0 \ end {bmatrix} \ rightarrow \ begin {bmatrix} 1 y 0 y 0 y 0 y 3 \\ 0 y 1 y 0 y 0 y -2 \\ 0 y 0 y 1 y 0 y 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \ end {bmatrix} [/ math]

Finalmente, podemos convertir esta matriz nuevamente en las ecuaciones para obtener

[matemáticas] x + 0y + 0z + 0t = 3 \ implica x = 3 [/ matemáticas]

[matemáticas] 0x + y + 0z + 0t = -2 \ implica y = -2 [/ matemáticas]

[matemáticas] 0x + 0y + z + 0t = 0 \ implica z = 0 [/ matemáticas]

[matemática] 0x + 0y + 0z + t = 0 \ implica t = 0 [/ matemática]

Answer 2

Este sería mi “método de enfoque súper rápido” para este sistema.

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Empezando con

[matemáticas] \ displaystyle \ begin {align *} & 2x + 2y + 3z + 4t = 2 \ tag1 \\ & 2x + 3y + 4z + 6t = 0 \ tag2 \\ & 3x + 4y + 5z + 6t = 1 \ tag3 \\ & x + y + z + t = 1 \ tag4 \ end {align *} [/ math]

Restando [matemáticas] (3) – (2) [/ matemáticas], obtenemos

[matemáticas] \ displaystyle \ begin {align *} & (3x + 4y + 5z + 6t) – (2x + 3y + 4z + 6t) = 1 \\ & \ implica \ color {marrón} {x + y + z = 1} \ tag5 \ end {align *} [/ math]

Sustituyendo [matemáticas] (5) [/ matemáticas] en [matemáticas] (4) [/ matemáticas] da

[matemáticas] \ displaystyle \ begin {align *} & \ color {brown} {x + y + z} + t = 1 \\ & \ implica t + 1 = 1 \\ & \ implica \ boxed {t = 0} \ end {align *} \ tag6 [/ math]

Ahora, tenemos que encontrar [matemáticas] x, y, z [/ matemáticas]. Multiplicar [matemática] (4) [/ matemática] por dos para obtener [matemática] \ color {rojo} {2x + 2y + 2z = 2} [/ matemática] y sustituirla en [matemática] (1) [/ matemática] da

[matemáticas] \ displaystyle \ begin {align *} & \ color {red} {2x + 2y + 2z} + z = 2 \\ & \ implica z + 2 = 2 \\ & \ implica \ boxed {z = 0} \ end {align *} \ tag7 [/ math]

Y resolver para [matemáticas] x, y [/ matemáticas] es sencillo después de eso. Resta [matemáticas] (2) – (1) [/ matemáticas] para obtener

[matemáticas] \ displaystyle \ begin {align *} & (2x + 3y) – (2x + 2y) = – 2 \\ & \ implica \ boxed {y = -2} \ end {align *} \ tag8 [/ math ]

Y sustituyéndolo de nuevo en cualquiera de las ecuaciones originales da [math] \ boxed {x = 3} [/ math]. Por lo tanto, la solución es [math] \ boxed {(x, y, z, t) = (3, -2,0,0)} [/ math].

Answer 3

Escríbelo como una matriz aumentada

[matemáticas] \ begin {pmatrix} 2 y 2 y 3 y 4 y 2 \\ 2 y 3 y 4 y 6 y 0 \\ 3 y 4 y 5 y 6 y 1 \\ 1 y 1 y 1 y 1 y 1 \ end {pmatrix} \ tag * {} [/ math]

Intercambiando filas …

[matemáticas] \ begin {pmatrix} 1 y 1 y 1 y 1 y 1 \\ 2 y 2 y 3 y 4 y 2 \\ 2 y 3 y 4 y 6 y 0 \\ 3 y 4 y 5 y 6 y 1 \ end {pmatrix} \ tag * {} [/ math]

Realizar operaciones de fila

[matemáticas] R_2 = R_2 + (- 2) R_1 [/ matemáticas]

[matemáticas] R_3 = R_3 + (- 2) R_1 [/ matemáticas]

[matemáticas] R_4 = R_4 + (- 3) R_1 [/ matemáticas]

obtenemos

[matemáticas] \ begin {pmatrix} 1 y 1 y 1 y 1 y 1 \\ 0 y 0 y 1 y 2 y 0 \\ 0 y 1 y 2 y 4 y -2 \\ 0 y 1 y 2 y 3 y -2 \ end {pmatrix} \ tag * {} [/ math]

Ahora realizando

[matemáticas] R_4 = R_3-R_4 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ begin {pmatrix} 1 y 1 y 1 y 1 y 1 \\ 0 y 0 y 1 y 2 y 0 \\ 0 y 1 y 2 y 4 y -2 \\ 0 y 0 y 0 y 1 y 0 \ end {pmatrix} \ tag * {} [/ math]

Intercambiando filas para nuestra conveniencia

[matemáticas] \ begin {pmatrix} 1 y 1 y 1 y 1 y 1 \\ 0 y 1 y 2 y 4 y -2 \\ 0 y 0 y 1 y 2 y 0 \\ 0 y 0 y 0 y 1 y 0 \ end {pmatrix} \ tag * {} [/ math]

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Obtenemos

[matemáticas] t = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] z + 2t = 0 \ implica z = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] y + 2z + 4t = -2 \ implica y = -2 [/ matemáticas]

[matemáticas] x + y + z + t = 1 \ implica x = 1-y \ implica x = 1 – (- 2) \ implica x = 3 [/ matemáticas]

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[matemáticas] (x, y, z, t) = (3, -2,0,0) [/ matemáticas]

Hecho

Answer 4

Entonces, para este tipo de problema, generalmente desea limitarlo a dos variables, haciendo que este problema sea mucho más fácil de resolver. Podemos lograr esto sumando o restando ecuaciones para obtener nuevas ecuaciones. O puedes formar matrices y conectarlo a tu calculadora

Veamos la segunda y tercera ecuaciones. Vemos que ambos tienen 6t, por lo que sería bueno restarlos y deshacerse de t. Restar 3x + 4y + 5z + 6t = 1 por 2x + 3y + 4z + 6t = 0 nos da x + y + z = 1.

Esta es una nueva ecuación que hemos encontrado. Notamos que x + y + z también está en la cuarta ecuación. Por lo tanto, podemos sustituir uno por x + y + z en la cuarta ecuación para obtener t + 1 = 1, mostrándonos que t = 0.

Ahora regrese a la primera ecuación y conecte 0 para t. Seguimos con 2x + 2y + 3z = 2 si solo fuera 2z, podríamos sustituirlo nuevamente. Pero espere, si manipulamos las variables en 2x + 2y + 2z + z = 2, todavía tenemos las mismas ecuaciones y podemos sustituirlas en una. 2 (x + y + z) + z = 2, sustituyendo en uno por x + y + z, obtenemos 2 + z = 2, entonces z = 0.

Con dos de las variables conocidas, puede conectar las variables a cualquiera de las dos ecuaciones, quedando solo x e y detrás. Puede conectarlos a la segunda y cuarta ecuaciones, resolver restando los dos para dejar y, y obtener y = -2 x = 3 verifique su trabajo volviéndolo a enchufar

Answer 5

General cómo resolver un sistema de ecuaciones, encuentre la matriz cuadrada A apropiada (los valores de los números por sus variables, si una variable no aparece en una línea, su valor es 0 en la línea de la matriz) e inviértalo, aquí sería:

[matemáticas] \ begin {pmatrix} 2 y 2 y 3 y 4 \\ 2 y 3 y 4 y 6 \\ 3 y 4 y 5 y 6 \\ 1 y 1 y 1 y 1 \ end {pmatrix} ^ {- 1} = \ begin {pmatrix} 1 y 0 y -1 y 2 \\ 2 y -1 y 0 y 2 \\ 1 y -2 y 2 y -4 \\ 0 y 1 y -1 y 1 \ end { pmatrix} [/ math]

(Vea los pasos de cálculo aquí: Calculadora matricial)

Luego, multiplica la matriz invertida con el vector de tu resultado deseado, así que aquí tenemos:

[matemáticas] \ begin {pmatrix} 1 y 0 y -1 y 2 \\ 2 y -1 y 0 y 2 \\ 1 y -2 y 2 y -4 \\ 0 y 1 y -1 y 1 \ end { pmatrix} \ cdot \ begin {pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \ end {pmatrix} = \ begin {pmatrix} 3 \\ -2 \\ 0 \\ 0 \ end {pmatrix} [/ math]

(Nuevamente, vea cómo se hace en este lado encantador: calculadora matricial)

Entonces tenemos [matemática] x = 3 [/ matemática], [matemática] y = -2 [/ matemática], [matemática] z = 0 [/ matemática] y [matemática] t = 0 [/ matemática].

Por supuesto, puede hacerlo más fácil y combinar 2 líneas que eliminan 1 variable, por ejemplo restar la línea 1 y 2 y 3 y 3 veces 4 para obtener:

[matemáticas] -yz-2t = 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] y + 2z + 3t = -2 [/ matemáticas]

Combina estas 2 líneas una vez más (súmalas) para perder la x:

entonces tenemos [matemáticas] z + t = 0 [/ matemáticas]

Entonces sabemos [matemática] z = t [/ matemática] cuando ponemos esto en una de las 2 ecuaciones que obtuvimos con la primera combinación que tenemos [matemática] y + 5t = -2 \ Flecha derecha y = -2-5t [/ matemática ]

Cuando conectamos esto en la otra ecuación que obtuvimos, es:

[matemáticas] – (- 2-5t) -t-2t \ Rightarrow 2 + 3t = 2 \ Rightarrow 3t = 0 \ Rightarrow t = 0 \ Rightarrow z = 0 [/ math]

ahora podemos usar zyt en la ecuación [matemáticas] y + 2z + 3t = -2 [/ matemáticas] y obtener de inmediato [matemáticas] y = -2 [/ matemáticas]

ahora tenemos y, zyt y podemos usarlos en cualquiera de las ecuaciones originales:

[matemáticas] 2x + 2 \ cdot -2 + 3 \ cdot 0 + 4 \ cdot 0 = 2 [/ matemáticas]

[matemática] 2x-4 = 2 \ Rightarrow 2x = 6 \ Rightarrow x = 3 [/ math].

Y si comprobamos que todas las ecuaciones funcionan con estas soluciones.

Answer 6

este es un buen ejemplo para usar la regla de Cramer, así que comencemos cambiando el sistema de ecuaciones al formato de matriz de la siguiente manera:

[matemáticas] \ displaystyle \ begin {bmatrix} 2 y 2 y 3 y 4 \\ 2 y 3 y 4 y 6 \\ 3 y 4 y 5 y 6 \\ 1 y 1 y 1 y 1 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} x \\ y \\ z \\ t \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} \ color {blue} {2} \\ \ color {blue} {0} \\ \ color {blue} {1} \\ \ color {azul} {1} \ end {bmatrix} [/ math]

y luego calcule las razones de los siguientes determinantes:

[matemáticas] \ displaystyle x = \ frac {\ begin {vmatrix} \ color {blue} {2} y 2 y 3 y 4 \\ \ color {blue} {0} y 3 y 4 y 6 \\ \ color { azul} {1} y 4 y 5 y 6 \\ \ color {azul} {1} y 1 y 1 y 1 \ end {vmatrix}} {\ begin {vmatrix} 2 y 2 y 3 y 4 \\ 2 & 3 & 4 & 6 \\ 3 & 4 & 5 & 6 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \ end {vmatrix}}, \ space \ displaystyle y = \ frac {\ begin {vmatrix} 2 & \ color {blue { } {2} y 3 y 4 \\ 2 y \ color {azul} {0} y 4 y 6 \\ 3 y \ color {azul} {1} y 5 y 6 \\ 1 y \ color {azul} { 1} y 1 y 1 \ end {vmatrix}} {\ begin {vmatrix} 2 y 2 y 3 y 4 \\ 2 y 3 y 4 y 6 \\ 3 y 4 y 5 y 6 \\ 1 y 1 y 1 & 1 \ end {vmatrix}}, [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle z = \ frac {\ begin {vmatrix} 2 y 2 y \ color {azul} {2} y 4 \\ 2 y 3 y \ color {azul} {0} y 6 \\ 3 y 4 & \ color {azul} {1} y 6 \\ 1 y 1 y \ color {azul} {1} y 1 \ end {vmatrix}} {\ begin {vmatrix} 2 y 2 y 3 y 4 \\ 2 & 3 y 4 y 6 \\ 3 y 4 y 5 y 6 \\ 1 y 1 y 1 y 1 \ end {vmatrix}}, \ space \ displaystyle t = \ frac {\ begin {vmatrix} 2 y 2 y 3 y \ color {azul} {2} \\ 2 y 3 y 4 y \ color {azul} {0} \\ 3 y 4 y 5 y \ color {azul} {1} \\ 1 y 1 y 1 y \ color {azul} {1} \ end {vmatrix}} {\ begin {vmatrix} 2 y 2 y 3 y 4 \\ 2 y 3 y 4 y 6 \\ 3 y 4 y 5 y 6 \\ 1 y 1 y 1 & 1 \ end {vmatrix}}. [/ Math]

después de hacer todos los cálculos brutos, debería darte lo siguiente:

[matemáticas] \ displaystyle (x, y, z, t) = (3, -2,0,0) [/ matemáticas]

Answer 7

t = 0,

y = -2,

z = 0,

x = 3,