¿Cuál es la ecuación del locus del punto P (x, y) que siempre es equidistante de las líneas y = 4 y x = 8?

Answer 1

El lugar geométrico del punto P que siempre es equidistante de dos líneas es precisamente la bisectriz angular del ángulo creado por estas dos líneas de intersección.

Puedes dibujar estas dos líneas. Son paralelas a los ejes y, por lo tanto, perpendiculares entre sí. Por lo tanto, la pendiente va a ser 1 (el ángulo entre el ángulo de la bisectriz y el eje x es de 45 grados).

Ahora tienes que dibujar la línea con la pendiente 1 y pasar por el punto (8,4). A partir de esto, puede inferir que la línea cruza el eje y en el punto (0, -4).

Entonces la ecuación es y = x-4.

Pero también hay otra bisectriz angular (la línea que es perpendicular a la que calculamos) y su ecuación es y = -x + 12.

Entonces el locus de P son las dos líneas dadas por las ecuaciones y = x-4 e y = -x + 12

También puedes encontrar el locus analaticicamente.

Nuestro punto arbitrario X tiene coordinantes (x, y)

la distancia desde la línea x = 8 es igual a [matemática] | x-8 | [/ matemática]

distancia línea de forma y = 4 es igual a [matemática] | y-4 | [/ matemática]

Entonces la tesis es igual a [matemáticas] | x-8 | = | y-4 | [/ matemáticas]

Podemos cuadrar ambos lados.

[matemáticas] (| x-8 |) ^ 2 = (| y-4 |) ^ 2 (x-8) ^ 2 = (y-4) ^ 2 [/ matemáticas]

[matemática] y-4 = x-8 [/ matemática] o [matemática] y-4 = – (x-8) y ​​= x-4 [/ matemática] o [matemática] y = -x + 12 [/matemáticas]

Answer 2

El resultado son DOS líneas: ambas pasan a través (8,4) y una tiene una pendiente de 1 (ángulo de 45 grados) y la otra tiene una pendiente de -1 (ángulo de -45 grados).

Las ecuaciones son: y = x – 4 e y = -x + 12

Answer 3

Estamos tratando con dos líneas que son perpendiculares entre sí. y = 4 es una línea horizontal yx = 8 es una línea vertical. Para encontrar un punto (o un conjunto de puntos) que sean equidistantes a estos dos, tenemos que construir una hipotenusa que conecte estas dos líneas. El punto medio de la hipotenusa es el punto equidistante de las líneas.

Debido a que ambas líneas son infinitas, esto significa que la hipotenusa puede traducirse con sus puntos finales como puntos en las líneas horizontales y verticales. A medida que movemos la hipotenusa hacia la izquierda o hacia la derecha y la vemos crecer o encogerse, podemos ver que su punto medio traza una línea. Podemos extender esto en ambas direcciones de + [matemática] \ inf [/ matemática] y [matemática] – \ inf [/ matemática]. Esta línea termina siendo la bisectriz angular de la línea de 90 grados que crean las líneas horizontales y verticales.

Cada punto en la línea x = 8 tiene las coordenadas (8, y) y las coordenadas de la línea y = 4 serán (x, 4) . Para encontrar cualquier punto medio de la familia infinita de hipotenos, podemos usar la fórmula del punto medio:

[matemáticas] (\ frac {x + 8} {2}, \ frac {y + 4} {2}) [/ matemáticas]

Lo que hice muy rápido fue construir un gráfico en Excel con las ecuaciones dadas. Primero tracé las líneas horizontales y verticales, luego la línea creada por la hipotenusa a medida que la deslizaba de lado a lado. Esto no solo crea un punto, sino que crea una línea diagonal completa en ambas direcciones. Esta línea es la solución locus al problema. El gráfico no es completamente preciso debido a la escala que Excel configura automáticamente, pero el gráfico debería darle una buena idea de lo que está sucediendo.

Para descubrir la ecuación, primero tenemos que encontrar la pendiente.

Para configurar el gráfico, creé una tabla de Excel. Esto dará pistas para encontrar la pendiente para que podamos obtener la ecuación por completo.

Si observa las dos primeras columnas, esto nos da nuestras coordenadas para cada punto de 4.5 a 29.5. Como se trata de una línea recta, no tenemos que preocuparnos de que algo cambie a la hora de calcular la pendiente. Tomemos dos puntos, digamos los dos primeros y usemos la fórmula de la pendiente:

[matemáticas] m = \ frac {y_2 – y_1} {x_2 – x_1}
m = \ frac {3-2.5} {5-4.5} [/ matemática]

[matemáticas] m = \ frac {.5} {. 5} = 1 [/ matemáticas]

Entonces la pendiente es 1. ¿Cuál es la intersección con el eje y? Simplemente conectamos cualquier punto en la ecuación y luego la pendiente, y luego podemos resolverla. Usemos el primer punto que encontramos:

[matemáticas] y = mx + b [/ matemáticas]

[matemáticas] y = 1 \ cdot x + b [/ matemáticas]

[matemáticas] 2.5 = 1 \ cdot (4.5) + b [/ matemáticas]

[matemáticas] 2.5 = 4.5 + b [/ matemáticas]

[matemáticas] -2 = b [/ matemáticas]

Entonces nuestra ecuación para la línea de locus es y = x – 2 .

Answer 4

distancia desde el punto P (x, y) a la línea y = 4: y-4

distancia desde el punto P (x, y) a la línea x = 8: x-8

tenemos y-4 = x-8, entonces y = x- 4 es el lugar geométrico del punto equidistante de 2 líneas