La ecuación para la aceleración centrípeta es [matemática] a_n = v ^ 2 / r [/ matemática]
¿Cómo se determina? Considere el movimiento circular uniforme. Como la velocidad está cambiando, debe haber una aceleración, dada por [math] a = \ frac {d \ vec v (t)} {dt} [/ math]. Ahora, v (t) es una cantidad vectorial, que podemos escribir como [matemáticas] \ vec v (t) = v * \ hat u (t) [/ matemáticas], donde v es la magnitud de v (t), y u (t) es el vector unitario que describe la dirección de la velocidad en cada instante.
Tomando la derivada usando la regla del producto, encontramos que
[matemáticas] a = \ frac {d \ vec v (t)} {dt} = \ frac {dv} {dt} \ hat u (t) + \ frac {d \ hat u (t)} {dt} v [/matemáticas]
- ¿Cuál es el valor de [matemáticas] x [/ matemáticas] en esta ecuación: [matemáticas] \ dfrac {1} {x} + \ dfrac {1} {\ sqrt {1-x ^ 2}} = \ dfrac {35 } {12} [/ matemáticas]?
- Cómo convertir la ecuación vectorial de una línea en ecuación cartesiana
- ¿Cómo resolvería la ecuación x = 1 para x?
- Cómo crear un programa para resolver ecuaciones diferenciales en c ++
- ¿Cuáles son las soluciones integrales para (x, y) a x ^ 3 + (x + 4) ^ 2 = y ^ 2?
Pero [matemáticas] \ frac {dv} {dt} = 0 [/ matemáticas] en movimiento circular uniforme, por lo que acabamos de demostrar que la aceleración se dirige como la derivada del vector unitario [matemáticas] \ hat u (t) [/ matemáticas]. Es muy fácil demostrar (tome el producto escalar entre un vector unitario y su derivada) que la derivada de un vector unitario es siempre perpendicular al propio vector unitario; por lo tanto, acabamos de demostrar que la aceleración siempre se dirige hacia el centro del movimiento circular, o en otras palabras, que [math] a = \ frac {d \ hat u (t)} {dt} v [/ math] es La aceleración centrípeta que estamos buscando. Calculemos la derivada [math] \ frac {d \ hat u (t)} {dt}. [/ Math]
Esta es la derivada del tiempo de un vector unitario, por lo que estamos buscando la tasa de cambio en la dirección de [math] \ hat u (t) [/ math]. Tal vector siempre es tangente al círculo, por lo que en un tiempo dt cambia de dirección en un ángulo dado por [math] d \ theta = \ omega dt [/ math], o en otras palabras, su derivada de tiempo viene dada por [math] \ omega [/ matemáticas].
Por lo tanto, obtenemos [matemáticas] a = \ omega * v = v ^ 2 / r [/ matemáticas], el resultado final. En un movimiento circular general, este resultado sigue siendo válido: la única diferencia es que el término [matemáticas] \ frac {dv} {dt} \ hat u (t) [/ matemáticas] en la expresión de la aceleración no es cero, y por lo tanto tenemos otra contribución a la aceleración, dirigida como [math] \ hat u (t) [/ math] que es la aceleración tangencial (siempre tangente a la trayectoria).