Cómo convertir la ecuación vectorial de una línea en ecuación cartesiana

Answer 1

La ecuación vectorial de la línea es,

[matemáticas] \ displaystyle \ vec {r} = \ vec {a} + \ lambda \ vec {b} [/ matemáticas]

donde [math] \ vec {a} [/ math] es el vector de posición en la línea y es paralelo a [math] \ vec {b} [/ math]

Para convertir esta ecuación a la forma cartesiana, vamos,

[matemáticas] \ displaystyle \ vec {r} = x \ hat {i} + y \ hat {j} + z \ hat {k} [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle \ vec {a} = a_1 \ hat {i} + a_2 \ hat {j} + a_3 \ hat {k} [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle \ vec {b} = b_1 \ hat {i} + b_2 \ hat {j} + b_3 \ hat {k} [/ math]

De las ecuaciones anteriores,

[matemáticas] \ displaystyle x = a_1 + \ lambda b_1 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle y = a_2 + \ lambda b_2 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle z = a_3 + \ lambda b_3 [/ matemáticas]

Después de reorganizar,

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {x-a_1} {b_1} = \ frac {y-a_2} {b_2} = \ frac {z-a_3} {b_3} = \ lambda [/ math]

Cuál es la ecuación cartesiana requerida de la línea.

Answer 2

En el plano, una ecuación vectorial para una línea es algo así como:

[matemáticas] P (t) = (x, y) = (x_0, y_0) + t (x_1, y_1) [/ matemáticas]

donde [matemática] P (t) [/ matemática] es un punto en una línea parametrizada por real [matemática] t [/ matemática], [matemática] (x_0, y_0) [/ matemática] es un punto dado en la línea y [math] (x_1, y_1) [/ math] es el vector de dirección dado, que da la pendiente de la línea. Como [math] t [/ math] se extiende sobre los reales, es solo la relación entre [math] x_1 [/ math] y [math] y_1 [/ math] lo que importa para la línea misma. Cualquiera de los dos, pero no ambos, puede ser cero.

Eso corresponde a las ecuaciones paramétricas

[matemáticas] x = x_0 + x_1 t [/ matemáticas]

[matemáticas] y = y_0 + y_1 t [/ matemáticas]

Multiplicamos el primero por [matemática] y_1 [/ matemática], el segundo por [matemática] x_1, [/ matemática] y resta para eliminar [matemática] t [/ matemática]:

[matemáticas] y_1 x = y_1 x_0 + x_1 y_1 t [/ matemáticas]

[matemáticas] x_1 y = x_1 y_1 + x_1 y_1 t [/ matemáticas]

[matemáticas] y_1 x – x_1 y = y_1 x_0 – x_1 y_1 [/ matemáticas]

Esa es la ecuación para nuestra línea. Dejaré 3D para otros.

Answer 3

En el vector 3D, la ecuación de línea es

r = a + cb

En donde r, a y b son vectores

r = Es el vector de posición de cualquier punto general en línea

a = Es el vector de posición del punto dado en la línea

b = Es un vector en la dirección de la línea o a lo largo de la línea

Deje a = x1 i + y1 j + z1 k

b = ui + vj + wk

r = xi + yj + zk

(i, jk son vectores unitarios en la dirección de los ejes de coordenadas)

Pon los valores dados en la ecuación vectorial

xi + yj + zk = (x1 i + y1 j + z1 k) + (cui + cvj + cwk)

Comparando coeficientes de I, j, k

x = x1 + cu

y = y1 + cv

z = z1 + cw

Forme las tres ecuaciones.

c = (x-x1) / u = (y-y1) / v = (z-z1) / w

Aquí está la ecuación cartínea de la línea u también puede generalizarla, identificar ayb en una ecuación vectorial dada y poner las relaciones de dirección de ellas en la ecuación anterior en el lugar.

Answer 4

Bueno, elimine los vectores base y reemplácelos con una variable.

X1 i + x2 j + x3 k = 0. No es más que,

x + y + z = 0. Nota: no estoy cambiando las variables para convertirlas de vectores a coordenadas cartesianas. Es solo con el propósito de una mera representación, es decir,

Un vector se define por la base a la que pertenece,

Mientras que el mismo vector puede representarse una ecuación de variables múltiples, en el que cada variable representa un eje de coordenadas.

Answer 5

Usa la fórmula del coseno para encontrar los ejes xy la fórmula del seno para encontrar los ejes x. Conoces la hipotenusa y el ángulo del vector. Entonces, coseno de ángulo = Base / hipotenusa (BASE es ejes x) y seno de ángulo = altura / hipotenusa (HEIGHT es ejes y). Estoy seguro de que conoce la trigonometría básica.

Answer 6

Lo sabemos

La ecuación de la línea pasa a través del punto A que tiene el vector de posición a` (vector OA) y paralelo a cualquier vector b`

r` = a` + t * b`

Donde están en forma de

r` = xi` + yj` + zk`

a` = a1 i` + a2 j` + a3 k`

b` = b1 i` + b2 j` + b3 k` & say t = cualquier valor numérico

Ahora, al igualar el múltiplo de i`, j` & k`, tenemos

x = a1 + t * b1

y = a2 + t * b2

z = a3 + t * b3

Ahora>

x – a1 = t * b1,

y – a2 = t * b2,

z – a3 = t * b3

y podemos escribirlo en el formulario

(x- a1)/b1 = (y - a2)/b2 = (z - a3)/b3 = t

Esta es su línea requerida en forma cartesiana que pasa a través del punto (a1, b1, c1) que tiene cosenos de dirección

Cos (d) = l = b1 / (b1 ^ 2 + b2 ^ 2 + b3 ^ 2) ^ (1/2),

Cos (e) = m = b2 / (b1 ^ 2 + b2 ^ 2 + b3 ^ 2) ^ (1/2),

Cos (f) = n = b3 / (b1 ^ 2 + b2 ^ 2 + b3 ^ 2) ^ (1/2)

Donde d, e & f son el ángulo formado por la línea desde el eje x, el eje y y el eje z respectivamente

En 2D (z = 0)

Tu ecuación se convierte

(x – a1) / b1 = (y – a2) / b2

O

b2 * x – b1 * y = a1 * b2 – a2 * b1