¿Cuál es la solución para la ecuación diferencial [matemática] \ frac {dy} {dx} = xy ^ 2-y [/ matemática] con valor inicial [matemática] x = 0 [/ matemática] , [matemática] y = 1 [ / matemáticas]
Esto parece un problema de tarea, por lo general, me detendría antes de dar la respuesta, pero en este caso, daré la respuesta general y la solución específica a este problema de valor inicial (técnicamente, eso es más de lo que se solicitó) . Esbozaré el proceso de solución, pero no mostraré todos los detalles.
La solución general es [matemáticas] y = (x + 1 + C e ^ x) ^ {- 1} [/ matemáticas] . Para la condición inicial [matemática] y (0) = 1 [/ matemática] , necesitamos [matemática] C = 0 [/ matemática] , de modo que la solución sea [matemática] y = (x + 1) ^ {- 1} [/ matemáticas] .
Para encontrar la solución general, hice la sustitución [math] v = \ frac {x} {y} [/ math], entonces
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[matemáticas] \ frac {dv} {dx} = \ frac {1} {y} – \ frac {xy ‘} {y ^ 2} = \ frac {v} {x} – \ frac {x (xy ^ 2 -y)} {y ^ 2} = \ frac {v} {x} -x ^ 2 + v [/ math]
Esto proporciona un DE lineal de primer orden bastante simple: [math] v’-v \ left (1+ \ frac {1} {x} \ right) = – x ^ 2 [/ math], que tiene un factor integrador [math ] \ mu (x) = \ exp \ left (- \ int \ left (1+ \ frac {1} {x} \ right) dx \ right) = e ^ {- x} / | x | [/ math] .
Multiplicar por [matemáticas] \ mu [/ matemáticas] da una ecuación exacta; siguiendo los procedimientos habituales desde allí (y teniendo especial cuidado de considerar el efecto del valor absoluto) se obtiene [matemática] v = x (x + 1 + Ce ^ x) [/ matemática].
Nota adicional: la respuesta de Awnon Bhowmik señala que esta es una ecuación diferencial de Bernoulli y ofrece un enfoque diferente (más ingenioso) para resolverlo, lo que evita toda la molestia con los valores absolutos.
Un poco más de información: aquí hay una imagen de la curva de solución (rojo), junto con soluciones que satisfacen las condiciones iniciales [matemáticas] y (0) = 0.5 [/ matemáticas] ([matemáticas] C = 1 [/ matemáticas], verde) y [matemática] y (0) = 2 [/ matemática] ([matemática] C = -0.5 [/ matemática], azul). Puede explorar más en los campos de pendiente y dirección para ecuaciones diferenciales.