Cómo resolver [matemáticas] y ” + 4y ‘+ 5y = e ^ {- 2x} {\ cos x}

Answer 1

Ecuación auxiliar:

[matemática] m ^ 2 + 4m + 5 = 0 [/ matemática]

[matemáticas] \ implica (m + 2) ^ 2 + 1 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica m = -2 \ pm i [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica y_c = e ^ {- 2x} (c_1 \ sen x + c_2 \ cos x) [/ matemáticas]

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Recordando la integral particular para el formato

[matemáticas] P (x) y ” + Q (x) y ‘+ R (x) y = \ color {azul} {S (x) = e ^ {ax} (\ sin \ omega x + \ cos \ omega x)} [/ matemáticas]

donde [matemáticas] \ color {rojo} {D ^ 2 = – \ omega ^ 2} [/ matemáticas]

[matemáticas] PI = \ dfrac {e ^ {ax} (\ text {función seno o coseno})} {\ text {Ecuación auxiliar en términos de operador diferencial}} = \ dfrac {e ^ {ax} S (x) } {f (D + a)} [/ matemáticas]

[matemáticas] PI = \ dfrac {1} {D ^ 2 + 4D + 5} e ^ {- 2x} \ cos x [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica PI = \ dfrac {e ^ {- 2x} \ cos x} {f (D-2)} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica PI = \ dfrac {e ^ {- 2x} \ cos x} {(D-2) ^ 2 + 4 (D-2) +5} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica PI = \ dfrac {e ^ {- 2x} \ cos x} {D ^ 2-4D + 4 + 4D-8 + 5} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica PI = \ dfrac {e ^ {- 2x} \ cos x} {D ^ 2 + 1} [/ matemáticas]

Lo sabemos

[matemáticas] \ boxed {\ color {blue} {\ dfrac {1} {D ^ 2 + a ^ 2} \ cos \ omega x} = \ dfrac {x} {2 \ omega} \ sin \ omega x} [ /matemáticas]

[matemática] \ implica PI = \ dfrac {xe ^ {- 2x} \ sin x} {2} [/ matemática]

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Por lo tanto

[matemáticas] y = y_c + y_p [/ matemáticas]

[matemáticas] \ color {verde} {y (x) = e ^ {- 2x} (c_1 \ sin x + c_2 \ cos x) + \ dfrac {xe ^ {- 2x} \ sin x} {2} \ tag {*}}[/matemáticas]

Answer 2

aqui la respuesta

Answer 3

Necesita usar 2 soluciones, la homogénea y la particular.

El homogéneo: y = e ^ (py) y obtienes esa constante “p” resolviendo la ecuación que te dará 2 raíces, y la solución homogénea es la combinación lineal de ambos, Ae ^ (p1 y) + Be ^ ( p2y)

Lo particular: debe suponer una solución como el término independiente de y, entonces, llama a cosx como parte real de e ^ (ix), y usa una solución exponencial, como y = e ^ (ky), y hace lo mismo como antes.

La solución final es Y = Yp + Yh

Yp = Y particular

Yh = Y homogéneo

Answer 4

Esta es una ecuación diferencial ordinaria, lineal, de segundo orden, no homogénea. Como tal, primero resolvemos la ecuación homogénea: y ”+ 4y ‘+ 5y = 0. soluciones de esto toman la forma e ^ rx. Sustituyendo, obtenemos la ecuación característica r ^ 2 + 4r + 5 = 0. La ecuación cuadrática nos da r = [-4 ± √ (16–4 • 1 • 5)] / 2 = -2 ± i. Estas soluciones complejas pueden reescribirse como A e ^ -2xcosx + B e ^ -2x sen x. Eso resuelve el caso homogéneo.

Ahora necesitamos una solución particular. Se puede utilizar el método de coeficientes indeterminados o el método de variación de parámetros. Usando el primero, el lado derecho y sus derivados son de la forma Ce ^ (- 2x) cos x + De ^ (- 2x) sen x. Dado que eso se superpone con la solución homogénea, multiplicamos por x hasta que ya no sea el caso, un factor de x es suficiente. Sustituye y resuelve los coeficientes. Solución particular más solución homogénea = solución general.

Answer 5

Answer 6

Espero que esto haya ayudado!

Answer 7

e ^ (- 2x) [c1 cos (x) + c2 sin (x) + x / 2 sin (x) +1/2 cos (x)]

en caso de que las fotos no se muestren