¿Cuál es la ecuación de la tangente a la curva y ^ 2-6x ^ 2y + 4y + 19 = 0 desde el punto (2,1)?

① Diferenciando la ecuación dada wrt a x,

2yy’ — 6 {2xy + x²y ‘) + 4y’ = 0

y ‘(2y — 6x² + 4) = 12xy

② y ‘= 12xy / (2y — 6x² + 4)

③ y ‘(a, b) = 12ab / (2b — 6a + 4) = 6ab / (b — 3a + 2) = gradiente de la tangente a la curva en el punto de contacto A (a, b)

④ LLAMAR al punto B (2,1),

gradiente de AB, m (AB) = (b — 1) / (a ​​— 2) = y ‘(a, b) = 6ab / (b — 3a + 2)

(b — 1) (b + 2—3a) = 6ab (a — 2)

(b — 1) (b + 2) —3a (b — 1) = 6ba² — 12ab

b² + b — 2–3ab + 3a = 6ba² — 12ab

b² + b — 2 + 9ab + 3a — 6ba² = 0 ……… (A)

⑤A (a, b) se encuentra en la curva thr y, por lo tanto, debe satisfacer su ecuación:

b² — 6a²b + 4b + 19 = 0 ……… (B)

⑥ Necesitamos resolver las ecuaciones (A) y (B) para obtener los valores de (a, b), con eso podemos encontrar la pendiente de la tangente y, por lo tanto, su ecuación.

Estamos tratando de encontrar la línea tangente a la curva.

[matemática] y ^ 2–6x ^ 2y + 4y + 19 = 0 [/ matemática]

en el punto [matemáticas] (2,1) [/ matemáticas].

La ecuación de la línea tangente (o cualquier línea para el caso), se puede encontrar con la fórmula punto-pendiente para la ecuación de una línea:

[matemáticas] y-y_1 = m (x-x_1) [/ matemáticas]

Ya nos han dicho que estamos buscando la línea a través del punto [matemática] (2,1) [/ matemática], por lo que podemos conectar ese punto en la fórmula de pendiente de punto para [matemática] (x_1, y_1 )[/matemáticas].

[matemáticas] y-1 = m (x-2) [/ matemáticas]

Ahora todo lo que necesitamos es la pendiente, [matemáticas] m [/ matemáticas]. Para encontrar la pendiente, utilizaremos la diferenciación implícita para tomar la derivada de la función original, y luego conectaremos [math] (2,1) [/ math] en la derivada. Usando la diferenciación implícita (y la regla del producto en [matemáticas] -6x ^ 2y [/ matemáticas]), la derivada es

[matemáticas] 2y \ left (\ frac {dy} {dx} \ right) – \ left [(12x) (y) + \ left (6x ^ 2 \ right) (1) \ left (\ frac {dy} { dx} \ right) \ right] +4 \ left (\ frac {dy} {dx} \ right) + 0 = 0 [/ math]

[matemáticas] 2y \ left (\ frac {dy} {dx} \ right) -12xy-6x ^ 2 \ left (\ frac {dy} {dx} \ right) +4 \ left (\ frac {dy} {dx } \ right) = 0 [/ math]

Factor a resolver para [math] dy / dx [/ math].

[matemáticas] \ frac {dy} {dx} \ left (2y-6x ^ 2 + 4 \ right) -12xy = 0 [/ math]

[matemáticas] \ frac {dy} {dx} \ left (2y-6x ^ 2 + 4 \ right) = 12xy [/ math]

[matemáticas] \ frac {dy} {dx} = \ frac {12xy} {2y-6x ^ 2 + 4} [/ matemáticas]

Esta es la derivada que nos dará la pendiente [matemática] m [/ matemática]. Ahora solo necesitamos conectar [math] (2,1) [/ math].

[matemáticas] \ frac {dy} {dx} (2,1) = \ frac {12 (2) (1)} {2 (1) -6 (2) ^ 2 + 4} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {dy} {dx} (2,1) = \ frac {24} {2-6 (4) +4} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {dy} {dx} (2,1) = \ frac {24} {2-24 + 4} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {dy} {dx} (2,1) = – \ frac {24} {18} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {dy} {dx} (2,1) = – \ frac {4} {3} [/ matemáticas]

Conéctelo a la ecuación de la línea tangente para [math] m [/ math].

[matemáticas] y-1 = m (x-2) [/ matemáticas]

[matemáticas] y-1 = – \ frac43 (x-2) [/ matemáticas]

Podemos dejar la ecuación en esta forma, o si lo preferimos podemos simplificar la ecuación en forma de pendiente-intersección:

[matemática] y-1 = – \ frac43x + \ frac83 [/ matemática]

[matemáticas] y = – \ frac43x + \ frac83 + \ frac33 [/ matemáticas]

[matemáticas] y = – \ frac43x + \ frac {11} {3} [/ matemáticas]

Interpretación: supongo que te refieres a [matemáticas] y ^ 2-6x ^ 2y + 4y + 19 = 0 [/ matemáticas].

Podríamos resolver [math] y [/ math] en términos de [math] x [/ math] aquí usando la fórmula cuadrática, pero el espíritu del problema (y probablemente el enfoque más fácil de todos modos) es usar la diferenciación implícita.

[matemáticas] D_x \ left (y ^ 2-6x ^ 2y + 4y + 19 = 0 \ right) = 2y \; y ‘- 12xy – 6x ^ 2 \; y’ +4 \; y ‘= 0 [/ math ]

[matemática] y ‘\ left (2y-6x ^ 2 + 4 \ right) = 12xy [/ math]

Ahora sustituto:

[matemáticas] y ‘(2-24 + 4) = 12 (2) (1) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle y ‘= \ frac {24} {- 18} = – \ frac {4} {3} [/ matemáticas].

ETA:

Esto te da la pendiente de la línea. A partir de ahí, el problema es trivial.

Solo tenemos que encontrar la derivada de [math] y [/ math], y evaluar eso en [math] x = 2 [/ math], para encontrar la pendiente. Luego, usando la pendiente y el punto [matemáticas] (2,1) [/ matemáticas], encuentre la ecuación de la recta.

[matemática] y ^ 2-6x ^ 2y + 4y + 19 = 0 [/ matemática]

[matemáticas] \ frac {d} {dx} (y ^ 2-6x ^ 2y + 4y + 19) = \ frac {d} {dx} (0) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {d} {dx} (y ^ 2) – \ frac {d} {dx} (6x ^ 2y) + \ frac {d} {dx} (4y) = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {d} {dy} (y ^ 2) \ frac {dy} {dx} – (\ frac {d} {dx} (6x ^ 2) y + 6x ^ 2 \ frac {dy} { dx}) + 4 \ frac {dy} {dx} = 0 [/ matemática]

[matemática] 2y \ frac {dy} {dx} -12xy-6x ^ 2 \ frac {dy} {dx} +4 \ frac {dy} {dx} = 0 [/ math]

[matemáticas] (2y-6x ^ 2 + 4) \ frac {dy} {dx} = 12xy [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {dy} {dx} = \ frac {12xy} {2y-6x ^ 2 + 4} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {dy} {dx} = \ frac {6xy} {y-3x ^ 2 + 2} [/ matemáticas]

[matemáticas] x = 2 \ tierra y = 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] m = \ frac {6 (2) (1)} {1-3 (2) ^ 2 + 2} [/ matemáticas]

[matemáticas] m = \ frac {12} {3-3 (4)} [/ matemáticas]

[matemáticas] m = \ frac {12} {3-12} [/ matemáticas]

[matemáticas] m = \ frac {12} {- 9} [/ matemáticas]

[matemáticas] m = – \ frac {4} {3} [/ matemáticas]

[matemáticas] y = mx + b [/ matemáticas]

[matemáticas] y = – \ frac {4} {3} x + b [/ matemáticas]

[matemáticas] 1 = – \ frac {4} {3} (2) + b [/ matemáticas]

[matemáticas] 1 = – \ frac {8} {3} + b [/ matemáticas]

[matemáticas] b = 1 + \ frac {8} {3} [/ matemáticas]

[matemáticas] b = \ frac {11} {3} [/ matemáticas]

[matemáticas] y = – \ frac {4} {3} x + \ frac {11} {3} [/ matemáticas]

[matemáticas] y = \ frac {11-4x} {3} [/ matemáticas]