Cómo resolver esta ecuación diferencial 2xyy ” = 1 + y ^ 2

Answer 1

¿Cómo puedo resolver esta ecuación diferencial [matemáticas] 2xyy ” = 1 + y ^ 2 [/ matemáticas] ?

No es una solución completa, sino algunas observaciones:

• Cualquier solución a este DE no puede ser dos veces diferenciable en [math] x = 0 [/ math]. Si [matemática] y (0) = y_0 [/ matemática] y [matemática] y ” (0) = a [/ matemática], entonces [matemática] 2 \ cdot 0 \ cdot y_0 \ cdot a = 1 + y_0 ^ 2 [/ math], que es imposible.
• Por razones similares, [math] y [/ math] nunca puede ser igual a cero. (Sin embargo, puede acercarse a 0.)
• Más específicamente, porque [matemática] 1 + y ^ 2> 0 [/ matemática] para todos los [matemática] y [/ matemática] real, [matemática] y ” [/ matemática] tiene el mismo signo que [matemática] xy [ / matemáticas] . Es decir, la gráfica de una solución es cóncava hacia arriba si [matemática] x [/ matemática] y [matemática] y [/ matemática] tienen el mismo signo (Q1 y Q3), y cóncava hacia abajo si tienen signos opuestos (Q2 y Q4).

Con esto en mente, podríamos buscar una solución en serie centrada en (digamos) [matemáticas] x = 1 [/ matemáticas], así:

[matemáticas] y (x) = y (1) + y ‘(1) (x-1) + \ frac {1} {2} y’ ‘(1) (x-1) ^ 2 + \ cdots [/ matemáticas]

Si tomamos las condiciones iniciales [matemáticas] y (1) = a [/ matemáticas] y [matemáticas] y ‘(1) = b [/ matemáticas], entonces con [matemáticas] y’ ‘= (1 + y ^ 2) / (2xy) [/ math], tenemos

[matemáticas] y ” (1) = \ dfrac {1 + a ^ 2} {2 \ cdot 1 \ cdot a} = \ dfrac {a + 1 / a} {2} [/ matemáticas]

[math] y ” ‘= \ dfrac {2yy’ \ cdot 2xy- (2y + 2xy ‘) (1 + y ^ 2)} {4x ^ 2y ^ 2} [/ math], entonces [math] y’ ‘ ‘(1) = \ dfrac {4a ^ 2b-2 (a + b) (1 + a ^ 2)} {4a ^ 2} = \ frac {1} {2} (ba) + \ dfrac {a + b } {2a ^ 2} [/ matemáticas]

etc. (por tantos términos como tenga paciencia). Tenga en cuenta que en la expresión para [math] y ” ” [/ math], tendrá factores de [math] y ” [/ math], que se pueden reemplazar con [math] (1 + y ^ 2) / (2xy) [/ matemáticas].

Otro enfoque comúnmente utilizado con los DE de segundo orden es convertir el DE en un sistema haciendo la sustitución [math] y ‘= v [/ math], de modo que [math] v’ = y ” = (1 + y ^ 2) / (2xy) [/ matemáticas]. He explorado un poco este sistema, pero no tengo mucho que informar (o mucho tiempo adicional para verlo en este momento).

Answer 2

A menudo es útil pedirle al motor Alpha de Wolfram que resuelva ecuaciones:

Motor de conocimiento computacional

Como puede ver, hay numerosas soluciones.