¿Para qué se usan las ecuaciones diferenciales parciales?

Answer 1

Las ecuaciones diferenciales parciales se utilizan para formular matemáticamente y, por lo tanto, ayudar a la solución de problemas físicos y de otro tipo que involucran funciones de varias variables, como la propagación de calor o sonido, flujo de fluidos, ondas, elasticidad, electrodinámica, etc. [Fuente: Parcial ecuación diferencial]

Una de las PDE comúnmente conocidas son las ecuaciones de Navier-Stokes que describen el flujo de sustancias fluidas viscosas.

Las ecuaciones de Navier-Stokes también son de gran interés para matemáticos e investigadores, ya que son uno de los siete problemas más importantes en Matemáticas, según lo dicho por Clay Mathematics Institute. A la persona que prueba o refuta la existencia y la fluidez de las soluciones de Navier-Stokes en tres dimensiones se le ofrecerá 1 millón de dólares y, lo más importante, la prestigiosa Medalla Fields.

Answer 2

Muchos fenómenos físicos se describen fundamentalmente mediante ecuaciones diferenciales parciales. Por lo general, el análisis comienza con ellos. Si tiene una ecuación diferencial parcial en lugar de una ecuación diferencial ordinaria, tiene más de una variable independiente. Por ejemplo, un problema que solo depende de una variable independiente [matemática] x [/ matemática] será una ecuación diferencial ordinaria. Un problema que depende de dos variables independientes [matemáticas] x [/ matemáticas] y [matemáticas] y [/ matemáticas] será una ecuación diferencial parcial.

La ecuación de calor, la ecuación de onda, la ecuación de Schrödinger, las ecuaciones de Maxwell, la ecuación de Bernoulli y muchas otras cosas fundamentales en la ciencia y la ingeniería son ecuaciones diferenciales parciales (PDE). Otra cosa interesante es que estas PDE rara vez son directamente útiles. No puedo mirarlos e inmediatamente decir lo que sucederá. Tenemos que resolverlos, encontrar soluciones y aplicar esas soluciones para obtener la información útil del PDE.

Answer 3

¡Todo! Dame una ecuación diferencial parcial, y te doy todo el mundo … Esto es, por supuesto, exagerado, pero son muy importantes para entender el mundo.

La razón de esto es que las ecuaciones diferenciales parciales son las ecuaciones de la física. Toda teoría fundamental de la naturaleza que hemos encontrado hasta ahora puede describirse mediante un conjunto de ecuaciones diferenciales parciales. Entonces, la descripción de nuestro mundo radica en las soluciones de tales ecuaciones. Tenemos

• Ecuaciones de Einstein en relatividad general
• La ecuación de Schrödinger en mecánica cuántica
• La ecuación de Dirac para fermiones relativistas
• … y muchas ecuaciones efectivas como la ecuación de Navier-Stokes para fluidos