Explícame el concepto de ecuaciones diferenciales. ¿Cuáles son sus propósitos generales?

Answer 1

En aritmética, aprende sobre números y cómo sumarlos y multiplicarlos, junto con otras operaciones. Ahora la aritmética en sí misma puede ser útil al contar cosas, equilibrar una chequera y otras cosas. Sin embargo, el álgebra se basa en la aritmética, ya que usa la aritmética como herramienta para resolver problemas donde hay incógnitas. Eventualmente trabaja con objetos llamados funciones que toman valores y devuelven otros valores.

En el cálculo, aprende sobre el tipo de cosas que puede hacer con las funciones en sí mismas, como tomar límites, diferenciar, integrar, etc. Al igual que la aritmética, estás aprendiendo un juego de herramientas, pero ¿para qué? Aquí es donde la analogía de la aritmética con el álgebra es con el cálculo y las ecuaciones diferenciales.

Una ecuación diferencial es una ecuación en la que está tratando de resolver funciones desconocidas de modo que ‘cambie’ de la manera que desee. Probablemente sea más intuitivo para lo que fueron inventados originalmente, que es la física.

Si tiene una ecuación para la posición, su derivada es su velocidad, su segunda aceleración derivada, etc. Una ecuación diferencial muy simple como “La segunda derivada de la posición de un objeto con respecto al tiempo es un valor constante” dice lo mismo que está experimentando una fuerza constante. Si resuelve la ecuación diferencial integrando dos veces, termina con una parábola, el tipo de trayectoria que seguiría un objeto si lo lanza al aire bajo la influencia de la gravedad.

Puede hacer ecuaciones diferenciales más complicadas que modelen el movimiento de un resorte, por ejemplo (La fuerza está en la dirección opuesta al desplazamiento), que tiene ondas como soluciones y así sucesivamente.

Los anteriores son ejemplos de ecuaciones diferenciales ordinarias. Incluso puede generalizar más y trabajar con ecuaciones diferenciales parciales, que pueden usarse para describir cómo se disipa el calor o se propagan las ondas.

Puede llevar la analogía aún más lejos y preguntar cuáles son los tipos de herramientas que necesito si estoy tratando de encontrar una ecuación diferencial desconocida. En ese caso, necesita métodos variacionales, y continúa desde allí.

Answer 2

“Es obvio que nada es permanente excepto el cambio; y el propósito principal de las ecuaciones diferenciales es servir como herramienta para el estudio del cambio en el mundo físico … estas aplicaciones incluyen:

• La fórmula de Einstein [matemáticas] E = mc ^ 2 [/ matemáticas].

• Ley de gravitación de Newton

• La ecuación de onda para el resorte vibratorio.

• El oscilador armónico en mecánica cuántica

• La ecuación de onda para una membrana vibrante.

• Las ecuaciones depredador-presa

• Mecánica no lineal

• Principio de Hamilton

• El problema mecánico de Abel

Considero que el tratamiento matemático de estos problemas se encuentra entre las principales glorias de la civilización occidental … “(Ecuaciones diferenciales con aplicaciones y notas históricas, Dr. George F. Simmons, Yale)

Ejemplos del libro:

• Considere una cuenta en la parte más alta de un círculo en un plano vertical, y deje que ese punto se una a cualquier punto inferior del círculo mediante un cable recto. Si la cuenta se desliza hacia abajo sin fricción, demuestre que alcanzará el círculo. al mismo tiempo, independientemente de la posición del punto inferior.

• Una cadena de 4 pies de largo comienza con 1 pie colgando sobre el borde de una mesa. Desprecie la fricción y encuentre el tiempo para que la cadena se deslice de la mesa.

• Una pelota de fútbol lisa que tiene la forma de un esferoide prolado de 12 pulgadas de largo y 6 pulgadas de grosor yace al aire libre bajo una tormenta. Encuentra los caminos por los que correrá el agua por sus costados.

• La clepsidra, o antiguo reloj de agua, era un cuenco del que se dejaba escapar el agua a través de un pequeño agujero en el fondo. A menudo se usaba en los tribunales griegos y romanos para cronometrar los discursos de los abogados, a fin de evitar que hablaran demasiado. Encuentre la forma que debería tener si el nivel del agua cae a un ritmo constante.

• Un destructor está cazando un submarino en una densa niebla. La niebla se levanta por un momento, revela el submarino en la superficie a 3 millas de distancia, e inmediatamente desciende. La velocidad del destructor es el doble que la del submarino, y se sabe que este último inmediatamente se zambullirá y partirá a toda velocidad en un curso recto de dirección desconocida. ¿Qué camino debe seguir el destructor para asegurarse de pasar directamente sobre el submarino? Sugerencia: establezca un sistema de coordenadas polares con el origen en el punto donde se vio el submarino.

Cf: ¿El mejor libro para ecuaciones diferenciales?

Answer 3

Hasta cierto punto, la respuesta es una cuestión de opinión / perspectiva; aquí está el mío: el cambio continuo del modelo de DE (en oposición al cambio discreto, que está modelado por ecuaciones de diferencia). ¿Por qué podría ser esto una cuestión de opinión / perspectiva? Bueno, de las tres palabras clave “cambio continuo modelo”, dos de ellas, modelo y continuo, no son necesariamente fáciles de comprender de la manera en que lo hace un matemático (a diferencia del cambio, lo que significa lo que cabría esperar). De los tres términos, continuo es el más distintivo, y con esto queremos decir, intuitivamente, un cambio que se compone de incrementos de tamaño arbitrariamente pequeño. Es ese “arbitrariamente pequeño” que distingue las ecuaciones diferenciales de sus primos discretos. HTH.

Answer 4

Hay muchos problemas físicos concluidos en una ecuación pequeña, ordinaria o parcial. son la respuesta final de un problema específico. Lo que los científicos quieren es resolver la solución detrás. Obviamente, necesitan resolverlos como resolver la ecuación x. Entonces, todo lo que aprendemos hoy en su mayoría fue derivado por los físicos en ese momento, como Newton, Lagrange. Si puede tener un buen dominio de ellos, será fácil para usted aprender más en matemáticas y física. Buena suerte