¿Cómo encontraría los ceros de la ecuación [matemáticas] f (x) = x + \ frac {2} {\ sqrt {x}} [/ matemáticas]?

Answer 1

[matemáticas] x + \ dfrac {2} {\ sqrt {x}} = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica x ^ {\ frac {3} {2}} + 2 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica \ color {azul} {x ^ {\ frac {3} {2}} = – 2} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica x = (- 2) ^ {\ frac {2} {3}} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica x = (2e ^ {i \ pi} \ cdot e ^ {2i \ pi k}) ^ {\ frac {2} {3}} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica x = 2 ^ {\ frac {2} {3}} e ^ {\ frac {(4k + 2) i \ pi} {3}} [/ matemáticas]

Poniendo

[matemáticas] k = 0: x = 2 ^ {\ frac {2} {3}} e ^ {\ frac {2i \ pi} {3}} [/ matemáticas]

[matemáticas] k = 1: x = 2 ^ {\ frac {2} {3}} e ^ {2i \ pi} = 2 ^ {\ frac {2} {3}} [/ matemáticas]

[matemáticas] k = 2: x = 2 ^ {\ frac {2} {3}} e ^ {\ frac {10i \ pi} {3}} = 2 ^ {\ frac {2} {3}} e ^ {\ frac {4i \ pi} {3}} [/ math]

La solución para [math] k = 1 [/ math] realmente no se ve bien, vamos a verificarlo.

[matemáticas] x ^ {\ frac {3} {2}} [/ matemáticas]

[matemáticas] = (2 ^ {\ frac {2} {3}}) ^ {\ frac {3} {2}} [/ matemáticas]

[matemáticas] = 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ color {azul} {\ neq -2} [/ matemáticas]

Las únicas soluciones son

[matemáticas] x = 2 ^ {\ frac {2} {3}} e ^ {\ frac {2i \ pi} {3}} [/ matemáticas]

[matemáticas] = 2 ^ {\ frac {2} {3}} \ left [\ cos \ left (\ dfrac {2 \ pi} {3} \ right) + i \ sin \ left (\ dfrac {2 \ pi } {3} \ right) \ right] [/ math]

[matemáticas] = \ color {azul} {2 ^ {\ frac {2} {3}} \ left (- \ dfrac {1} {2} + i \ dfrac {\ sqrt {3}} {2} \ right )}[/matemáticas]

[matemáticas] x = 2 ^ {\ frac {2} {3}} e ^ {\ frac {4i \ pi} {3}} [/ matemáticas]

[matemáticas] = 2 ^ {\ frac {2} {3}} \ left [\ cos \ left (\ dfrac {4 \ pi} {3} \ right) + i \ sin \ left (\ dfrac {4 \ pi } {3} \ right) \ right] [/ math]

[matemáticas] = \ color {azul} {2 ^ {\ frac {2} {3}} \ left (- \ dfrac {1} {2} -i \ dfrac {\ sqrt {3}} {2} \ right )}[/matemáticas]

Answer 2

Los ceros de una función son donde [math] f (x) = 0 [/ math]. Entonces establecemos la ecuación en cero, dándonos [matemática] x + \ frac {2} {\ sqrt {x}} = 0 [/ matemática]. Multiplicar por [matemáticas] \ sqrt {x} [/ matemáticas] da [matemáticas] x \ sqrt {x} + 2 = 0 [/ matemáticas] así que [matemáticas] x \ sqrt {x} = – 2 [/ matemáticas]. Cuadramos la ecuación para obtener [matemática] x ^ 3 = -4 [/ matemática] así que [matemática] x = \ sqrt [3] {- 4} [/ matemática]. Sin embargo, la raíz cúbica de un negativo es negativa, por lo que [math] x <0 [/ math]. Eso significa que [math] \ sqrt {x} [/ math] no está definido sobre los reales, por lo que no hay ceros de esta función.

Answer 3

En realidad no hay solución para esta ecuación. Si x es positivo, entonces [math] \ frac {2} {\ sqrt {x}} [/ math] también es positivo y dos positivos no pueden agregarse a 0. Por otro lado, si x es negativo, [math] \ sqrt {x} [/ math] no está definido.

En respuesta al comentario, hay dos soluciones sobre los números complejos. Si [matemática] x + \ frac {2} {\ sqrt {x}} = 0 [/ matemática] entonces [matemática] x ^ {\ frac {3} {2}} + 2 = 0 [/ matemática]. Esto se puede resolver mediante un proceso laborioso que Nick Nuechterlein ya ha abordado. Elegí ignorar esas soluciones porque no había una especificación de que x debería resolverse sobre los números complejos.

Answer 4

No hay soluciones sobre [math] \ mathbb {R} [/ math], pero hay dos sobre [math] \ mathbb {C} [/ math]. Considerar

[matemáticas] x + \ frac {2} {\ sqrt {x}} = 0. [/ matemáticas]

Recuerde que [math] \ frac {1} {\ sqrt {x}} = x ^ {- 1/2} [/ math]. Luego restar [matemáticas] 2x ^ {- 1/2} [/ matemáticas] de cada lado nos da

[matemáticas] x = -2x ^ {- 1/2} [/ matemáticas]

multiplica cada lado por [matemáticas] -x ^ {1/2} [/ matemáticas]

[matemáticas] -x ^ {3/2} = 2 [/ matemáticas]

cuadrar cada lado

[matemáticas] x ^ 3 = 4 [/ matemáticas]

ahora encuentre las tres raíces cúbicas de la unidad: [matemáticas] 2 ^ {2/3}, -2 ^ {2/3}, (-1) ^ {1/3} 2 ^ {2/3}. [/ matemáticas ]

Ahora pruébalos. La primera respuesta [matemática] x = [/ matemática] [matemática] 2 ^ {2/3} [/ matemática] no funciona cuando la vuelve a enchufar, pero las otras dos sí. Entonces, las dos soluciones son [matemáticas] x = -2 ^ {2/3} [/ matemáticas] y [matemáticas] x = [/ matemáticas] [matemáticas] (- 1) ^ {1/3} 2 ^ {2 / 3} [/ matemáticas].

Answer 5

Ponlo igual a cero

[matemáticas] 0 = x + \ frac {2} {\ sqrt {x}} [/ matemáticas]

Sustraer

[matemáticas] x = \ frac {-2} {\ sqrt {x}} [/ matemáticas]

Esto significa que x tiene que ser negativo. Pero el problema es que si x es negativo, entonces [math] \ sqrt {x} [/ math] no es real.

Además, x no puede ser cero, porque entonces tienes cero en el denominador.

Por lo tanto, f (x) no tiene ceros.

Answer 6

Para x negativo o cero, la función no está definida. Para x positivo, también lo es f (x). No hay ceros. (Para valores complejos, tendría el problema de definir lo que quiere decir ser raíz cuadrada).

Answer 7

Encontrar ceros básicamente significa encontrar las raíces de la ecuación.

Para hacer esto, tendríamos que ponerlo a cero y resolver

[matemáticas] 0 = x + \ frac {2} {\ sqrt {x}} [/ matemáticas]

Dado que tiene un [math] \ sqrt {x} [/ math] en el denominador, esto significa que debemos tener en cuenta los valores de x que causarían un error en la ecuación.

Para que esto suceda, x es igual a cero. [matemáticas] \ neq 0 [/ matemáticas]

Ahora podemos intentar resolverlo. Multiplica ambos lados por [math] \ sqrt {x} [/ math]

[matemáticas] 0 = x \ sqrt {x} + 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] -2 = x \ sqrt {x} [/ matemáticas]

Tendríamos que dividir todo por x. Pero eso nos llevaría de vuelta casi a donde empezamos.

Entonces, esta ecuación realmente no podemos resolver explícitamente. Lo mejor que podemos hacer es resolverlo usando la iteración. La forma en que usamos la iteración es conectando un valor inicial para x, reduciendo los números y obteniendo un resultado. Tome su resultado como el próximo valor de x y luego vuelva a conectarlo en la ecuación.

Haga esto continuamente hasta que comience a ver que los números comienzan a converger en un cierto valor. Puede converger, puede oscilar (lo que significa que puede no converger), o los resultados pueden aumentar y aumentar y nunca acercarse a nada. Esa es la mejor manera de resolver este tipo de problema.