Al encontrar la menor distancia entre [matemáticas] x ^ 2 + 2y = 0 [/ matemáticas] a [matemáticas] \ izquierda (0, – \ dfrac {1} {2} \ derecha) [/ matemáticas], ¿por qué resolver para [matemáticas] x ^ 2 [/ matemáticas] y la sustitución no da la respuesta correcta de [matemáticas] (0,0) [/ matemáticas]?

Answer 1

[matemáticas] x ^ 2 + 2y = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica y = – \ dfrac {1} {2} x ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] d ^ 2 = (x_2-x_1) ^ 2 + (y_2-y_1) ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica d ^ 2 = (x-0) ^ 2 + \ left (- \ dfrac {x ^ 2} {2} + \ dfrac {1} {2} \ right) ^ 2 [/ math]

[matemáticas] \ implica d ^ 2 = x ^ 2 + \ dfrac {1} {4} (x ^ 2–1) ^ 2 [/ matemáticas]

---

Puntos críticos):

[matemáticas] (d ^ 2) ‘(x) = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica 2x + x (x ^ 2–1) = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica x (2 + x ^ 2–1) = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica x (x ^ 2 + 1) = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica x = 0, \ pm i [/ matemáticas]

Considerando [math] x \ in \ R [/ math], el único valor posible es [math] x = 0 [/ math]

Tomando la segunda derivada

[matemáticas] (d ^ 2) ” (x) = x ^ 2 + 1 + 2x ^ 2 = 3x ^ 2 + 1 [/ matemáticas]

Al poner [math] x = 0 [/ math] en la segunda derivada, obtenemos

[matemática] (d ^ 2) ” (x) = 1> 0 [/ matemática], el punto crítico hace que la función sea cóncava, por lo tanto, se encuentra un punto mínimo para [matemática] d ^ 2 [/ matemática]

Poniendo [matemáticas] x = 0 [/ matemáticas], en [matemáticas] d ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] d ^ 2 = x ^ 2 + \ dfrac {1} {4} (x ^ 2–1) ^ 2 = \ dfrac {1} {4} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica d = \ dfrac {1} {2} [/ matemáticas]

Esta es la distancia mínima requerida.

Answer 2

No vi nada para conectar [matemáticas] x ^ 2 [/ matemáticas].

Deje que el punto más cercano en [matemática] y = – \ frac {1} {2} {x ^ 2} [/ matemática] sea [matemática] (a, – \ frac {{{a ^ 2}}} {2} )[/matemáticas].

La pendiente de la tangente en ese punto es [matemática] -a [/ matemática]. La pendiente de la línea que va al punto dado a la parábola debe ser el recíproco negativo de [math] -a [/ math]. Por lo tanto,

[matemáticas] \ frac {{{a ^ 2} – 1}} {{2a}} = \ frac {1} {a} \ Rightarrow a ({a ^ 2} + 1) = 0 [/ matemáticas]

y [matemáticas] a = 0 [/ matemáticas].

Entonces, el punto más cercano es [matemática] (0,0) [/ matemática] y está a una distancia [matemática] \ frac {1} {2} [/ matemática].

Answer 3

Supongo que porque y es de grado uno y la fórmula de distancia lo mantiene en un grado de uno, obtienes una constante para la derivada. Sin embargo, si considera la ecuación de la relación entre sy e, que es y – 1/2 = s. Por supuesto, los números negativos solo significan dirección en este caso, por lo que estamos buscando el valor y que da la menor s. este y tendría que ser 0, porque el rango de la función dada originalmente es todos los números reales menores o iguales a 0.

Con su respuesta como y = 0, resolver para x da el punto es (0,0).

Aunque esto implica un poco de lógica que no es completamente matemática, creo que funciona como otro método para determinar la distancia mínima.

Answer 4

Debido al teorema de Pitágoras, podemos escribir que la distancia [matemática] \ delta [/ matemática] entre [matemática] (x, y) [/ matemática] y [matemática] (0, – \ frac {1} {2} ) [/ math] es tal que

[matemáticas] \ delta ^ 2 = (x-0) ^ 2 + (y- (- \ frac {1} {2})) ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2 + 2 \ frac {y} {2 } + \ frac {1} {4} = x ^ 2 + y ^ 2 + y + \ frac {1} {4} [/ matemáticas]

Y eso [matemáticas] \ delta [/ matemáticas] [matemáticas] \ ge 0 [/ matemáticas]

Sabemos que [matemáticas] x ^ 2 = -2y [/ matemáticas]

para que podamos escribir

[matemáticas] \ delta ^ 2 = -2y + y ^ 2 + y + \ frac {1} {4} = y ^ 2 – y + \ frac {1} {4} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ forall (p, q) \ in \ mathbb R ^ {+ 2}, p \ lt q \ Leftrightarrow p ^ 2 \ lt q ^ 2 [/ math]

Entonces, como [math] \ delta [/ math] [math] \ ge 0 [/ math], [math] \ delta [/ math] tendrá un valor mínimo cuando [math] \ delta ^ 2 [/ math] tenga Un valor mínimo.

Entonces, suponiendo que [math] \ lambda = \ delta ^ 2 [/ math] calculemos

[matemáticas] \ frac {d \ lambda} {dy} = 2y – 1 [/ matemáticas]

Obviamente, el valor mínimo de [math] \ lambda [/ math] está en [math] y = \ frac {1} {2} [/ math] pero sabemos que [math] x ^ 2 = -2y [/ math ], entonces [matemáticas] y \ le 0 [/ matemáticas] (y supongo que esto es lo que pasaste por alto al resolver para [matemáticas] x ^ 2 [/ matemáticas]).

Como [math] \ forall y \ in \ mathbb R ^ {* -}, \ frac {d \ lambda} {dy} \ le -1 \ lt 0 [/ math], sabemos que [math] \ forall (y , z) \ in \ mathbb R ^ {* – 2}, y \ lt z \ Leftrightarrow y ^ 2 – y + \ frac {1} {4} \ gt z ^ 2 – z + \ frac {1} {4 }[/matemáticas]

Por lo tanto, [math] \ delta ^ 2 [/ math] es mínimo cuando [math] y = 0 [/ math]. Y si [matemática] y = 0 [/ matemática], [matemática] x = 0 [/ matemática] y [matemática] \ delta ^ 2 = \ frac {1} {4}. [/ Matemática]

La distancia mínima, [math] \ delta = \ frac {1} {2} [/ math] está en el punto [math] (0,0) [/ math].

Answer 5

Si la pregunta es encontrar una distancia, las coordenadas de un punto no son la respuesta correcta. La respuesta correcta será una distancia.

Answer 6

Creo que lo descubrí, pero dejaré esto para cualquier persona curiosa.

entonces la distancia es

[matemáticas] d = \ sqrt {(x ^ 2) + (y + 1/2) ^ 2} [/ matemáticas]

Tomando los rendimientos derivados

[matemáticas] d ‘= \ frac {y-1/2} {\ sqrt {y ^ 2-y + 1/4}} [/ matemáticas]

Esto nos tienta a la respuesta de y = 1/2, pero en realidad enchufarlo a la derivada produce 0/0, o forma indeterminada. De hecho, el denominador en realidad tiene en cuenta

[matemáticas] \ sqrt {(y-1/2) ^ 2} = (y-1/2) [/ matemáticas]

Por supuesto, la parte superior e inferior se cancelan dejando,

[matemáticas] d ‘= 1 [/ matemáticas]

Lo que ya no nos ayuda ya que y ya no está en la ecuación.

Así que supongo que nos vemos obligados a retroceder y sustituir a [math] y = \ frac {-x ^ 2} {2} [/ math]