Cómo resolver esta ecuación diferencial: [matemáticas] y ^ 2 (y ‘) ^ 2 + 3xy’-y = 0 [/ matemáticas]

Answer 1

¿Cómo puedo resolver esta ecuación diferencial: [matemáticas] y ^ 2 (y ‘) ^ 2 + 3xy’-y = 0 [/ matemáticas] ?

Debido a que este es un cuadrático en [matemáticas] y ‘[/ matemáticas], podemos aplicar la fórmula cuadrática para obtener

[matemáticas] y ‘= \ dfrac {-3x \ pm \ sqrt {9x ^ 2 + 4y ^ 3}} {2y ^ 2} [/ matemáticas]

Eso no es particularmente más útil en términos de encontrar una solución analítica, pero sí nos permite hacer algunas observaciones sobre cómo se verían tales soluciones, por ejemplo (mediante la construcción de campos de pendiente y soluciones numéricas aproximadas; consulte Campos de pendiente y dirección para diferenciales). Ecuaciones

Una observación inmediata es que el discriminante de esta cuadrática requiere que [matemática] 9x ^ 2 + 4y ^ 3 \ ge 0 [/ matemática], por lo que no hay soluciones posibles debajo de esa curva (una parábola semicúbica); observe la ausencia de segmentos de pendiente debajo de esa curva en las parcelas a continuación.

Aquí hay una gráfica que muestra las curvas de solución aproximadas para los valores iniciales [matemática] (0,1) [/ matemática] y [matemática] (0,2) [/ matemática], con la versión “+” de este DE. Estas soluciones están aumentando en cada cuadrante, excepto Q4:

Aquí hay una gráfica con las mismas condiciones iniciales, usando la versión “-” del DE; Estas soluciones disminuyen en cada cuadrante excepto Q3.

Answer 2

No es la solución general, pero si adivina una solución del formulario

[matemáticas] y = cx ^ a [/ matemáticas]

y conéctalo a la ecuación que obtienes

[matemáticas] c ^ 4a ^ 2x ^ {4a-2} + 3cax ^ a-cx ^ a = 0 [/ matemáticas]

Como esto es cierto para todas las x que tenemos

[matemáticas] 4a-2 = a \ rightarrow a = 2/3 [/ matemáticas]

y luego tenemos una ecuación en c

[matemáticas] \ frac {4c ^ 4} {9} + 2c-c = 0 [/ matemáticas]

Las cuatro soluciones son

[matemáticas] c_0 = 0 [/ matemáticas]

y

[matemáticas] c_k = \ left (\ frac {9} {4} \ right) ^ {1/3} e ^ {i \ pi k / 3} [/ math]

con k = 1,2,3

Editar: error de cálculo tonto fijo