Cómo convertir la ecuación de Euler-Lagrange en un sistema de primer orden

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Creo que trabajará con un ejemplo, ya que las ecuaciones de Euler Lagrange en su forma más general son muy difíciles de manejar (y tampoco computables numéricamente ya que se trata de expresiones analíticas). Permítanme por lo tanto demostrar con un ejemplo. Para simplificar, tomaré un ejemplo muy fácil de las ecuaciones de Euler-Lagrange, a saber, la masa en un resorte en un campo gravitacional que cuelga del techo.

Su energía potencial está dada por ([matemática] m [/ matemática] es la masa, [matemática] g [/ matemática] es la constante gravitacional, [matemática] k [/ matemática] es la constante de resorte, [matemática] L_0 [ / math] es la longitud de equilibrio del resorte y [math] y [/ math] es la posición del resorte con respecto al techo):

[matemáticas] -m * g * y + \ frac {k} {2} (y-L_0) ^ 2 [/ matemáticas]

Su energía cinética está dada por:

[matemáticas] m \ frac {\ dot {y}} {2} ^ 2 [/ matemáticas]

Ahora puedes construir fácilmente el lagrangiano y completarlo en la ecuación. Después de calcular un poco, llegarás a:

[matemáticas] \ ddot {y} = g – \ frac {k} {m} (y – L_0) [/ matemáticas]

Esta es de hecho una ecuación de segundo orden como mencionaste. Sin embargo, es fácil desacoplarlo en dos ecuaciones de primer orden. Usted obtiene:

[matemáticas] \ dot {y} = a [/ matemáticas]

[matemáticas] \ dot {a} = [/ matemáticas] [matemáticas] g – \ frac {k} {m} (y – L_0) [/ matemáticas]

Esto se puede resolver fácilmente, por ejemplo, mirando un diagrama de espacio de fases. Existen múltiples métodos numéricos para encontrar una solución ahora para este problema. Ya mencionaste uno en tu explicación (el método de disparo) y asumiré que estás familiarizado con esta técnica para resolver el problema de aquí en adelante.