Al trazar la función, es una función suave y de buen comportamiento, que tiene un máximo y un mínimo. Intentemos vencer a una computadora. Mediante el uso de identidades trigonométricas básicas (de derecha a izquierda),
[matemáticas] \ sin (a + b) = \ sin a \ cos b + \ cos a \ sin b [/ matemáticas]
[matemáticas] \ cos (a + b) = \ cos a \ cos b – \ sin a \ sin b [/ matemáticas]
podemos reescribir la y como
- ¿Qué es una ecuación que es perpendicular a [matemáticas] y = 2x + 7 [/ matemáticas] que pasa por el punto [matemáticas] (0,0) [/ matemáticas]?
- Cómo resolver [matemáticas] x ^ 2 \ ln x – 4 \ ln x = 0 [/ matemáticas]
- Cómo resolver esta ecuación diferencial: [matemáticas] y ^ 2 (y ‘) ^ 2 + 3xy’-y = 0 [/ matemáticas]
- ¿Cuándo se consideran los tensores como ecuaciones diferenciales parciales?
- ¿Cuál es la historia de las ecuaciones diferenciales?
[matemáticas] y = \ sin x +2 \ cos x + 4 \ sin x \ cos x = \ sqrt {5} \ sin (x + c) + 2 \ sin 2x [/ matemáticas]
donde [math] \ cos c = 1 / \ sqrt {5}, \ sin c = 2 / \ sqrt {5} [/ math], luego \ [math] tan c = 2 [/ math], por lo que podemos requerir c está en el rango de [matemática] [\ pi / 3, \ pi / 2] [/ matemática]. Claramente, tenemos límites superior e inferior para y
[matemáticas] -2- \ sqrt {5} <y <2+ \ sqrt {5}. [/ matemáticas]
Desafortunadamente, no podemos alcanzar los límites superiores inferiores, ya que podemos requerir que sin (x + c) y sin (2x) alcancen 1 o -1 simultáneamente. No se preocupe, la vida no es perfecta, pero siempre podemos hacerlo mejor.
Para encontrar un máximo, queremos que tanto sin (x + c) como sin (2x) sean positivos y estén lo más cerca posible de 1. De sin (2x) = 1, obtenemos x = Pi / 4 o Pi / 4 + Pi, para que sin (x + c) sea positivo, sospechamos que el verdadero máximo de y ocurre cerca de Pi / 4. Supongamos que x = Pi / 4 + a, ahora a es presumiblemente una pequeña cantidad que podemos aprovechar. Reescribe y como función de un
[matemáticas] y = \ sin (\ pi / 4 + a) + 2 \ cos (\ pi / 4 + a) +2 \ sin (\ pi / 2 + 2a) = (3 / \ sqrt {2}) \ cos a +2 \ cos 2a- (1 / \ sqrt {2}) \ sin a [/ math]
Para encontrar a, resolvemos la ecuación [matemáticas] y ‘(x = \ pi / 4 + a) = 0 [/ matemáticas]. La derivada de y (x) es
[matemáticas] y ‘(x) = \ cos x-2 \ sen x +4 \ cos 2 x [/ matemáticas]
conecte [math] x = \ pi / 4 + a [/ math], y llegamos a la ecuación de [math] a [/ math],
[matemáticas] – (3 / \ sqrt {2}) \ sin a – 4 \ sin 2a – (1 / \ sqrt {2}) \ cos a = 0 [/ matemáticas]
en principio, podemos resolver la ecuación anterior para sin (a) o cos (a), luego usarla para evaluar y. Tomemos un enfoque más simple ya que no hemos usado la pequeñez de a. Para resolver la ecuación, solo usamos la expansión de orden principal de sin (a) y cos (a), [math] \ sin a \ sim a [/ math] y [math] \ cos a \ sim 1 [/ math] , resolver por un
[matemáticas] a \ aprox -1 / (3 + 8 \ sqrt {2}) = -0.06986… [/ matemáticas]
De hecho, es un número pequeño, esperamos que la raíz de [math] y ‘= 0 [/ math] o el lugar donde y alcance su máximo sea muy precisa. Entonces, y alcanza el máximo en
[matemáticas] x = \ pi / 4 – 1 / (3 + 8 \ sqrt {2}) = 0.715535… [/ matemáticas]
Para evaluar el máximo de y, expandimos y (a) a la segunda potencia de a, use [math] \ cos a \ sim 1-a ^ 2/2 [/ math] y aún [math] \ sin a \ sim a [/ math],
[matemáticas] y_ {max} = 2+ \ frac {3} {\ sqrt {2}} – \ frac {a} {\ sqrt {2}} – \ left (\ frac {3} {2 \ sqrt {2 }} + 4 \ derecha) a ^ 2 = 4.14602… [/ matemáticas]
El coeficiente [matemática] \ izquierda (\ frac {3} {2 \ sqrt {2}} + 4 \ derecha) [/ matemática] es relativamente grande, es por eso que lo expandimos a un orden superior ya que esto es un esfuerzo adicional pequeño para la mayor precisión La situación es diferente cuando resolvemos para a, en ese caso, el coeficiente de cos (a) es 1 / sqrt (2), un número pequeño, establecer cos (a) = 1 es lo suficientemente bueno.
Apliquemos la misma lógica para encontrar un mínimo. Para evitar aburrirme, lo haré rápidamente. De sin (2x) = -1 y requiere sin (x + c) permanece negativo, encontramos mínimo alrededor de [matemáticas] x = 3 \ pi / 4 [/ matemáticas], escribimos [matemáticas] x = 3 \ pi / 4 + b [/ matemática], expanda [matemática] y (3 \ pi / 4 + b) [/ matemática] a [matemática] b ^ 2 [/ matemática],
[matemáticas] y (3 \ pi / 4 + b) = -2-1 / \ sqrt {2} -3 b / \ sqrt {2} + \ left (\ frac {1} {2 \ sqrt {2}} +4 \ derecha) b ^ 2 [/ matemáticas]
conecte [math] 3 \ pi / 4 + b [/ math] a [math] y ‘[/ math], obtenemos una ecuación para b,
[matemáticas] (1 / \ sqrt {2}) \ sin b + 4 \ sin 2b – (3 / \ sqrt {2}) \ cos b = 0 [/ matemáticas]
la solución de orden inicial para b es [matemática] b = 3 / (1 + 8 \ sqrt {2}) = 0.243631… [/ matemática], entonces y alcanza el mínimo en
[matemáticas] x = 3 \ pi / 4 + b = 2.59983 … [/ matemáticas]
evaluar el mínimo y,
[matemáticas] y_ {min} = -2-1 / \ sqrt {2} -3 b / \ sqrt {2} + \ left (\ frac {1} {2 \ sqrt {2}} + 4 \ right) b ^ 2 = -2.96552 … [/ matemáticas]
Ahora, es un placer comparar nuestros resultados con la solución numérica de la computadora, usando Mathematica,
Desde Mathematica, y alcanza un máximo en x = 0.715514 con el máximo 4.14601 mientras que y alcanza un mínimo en x = 2.60167 con un mínimo de -2.9652. ¡Todos están muy cerca de nuestros números anteriores! ¡Salud!