¿Hay alguna solución no trivial para [matemáticas] x ^ {- y} = y ^ {- x} [/ matemáticas]?

Answer 1

1. La ecuación dada es equivalente a x ^ y = y ^ x, que es equivalente a y * ln (x) = x * ln (y), que es lo mismo que ln (x) / x = ln (y) / y .
2. Analizando la función f (x) = ln (x) / x sobre su dominio de definición: x> 0, notamos que está aumentando estrictamente de -infinito a 1 / e a medida que x crece de 0 a e, y es disminuyendo de 1 / e a 0 a medida que x crece de e al infinito. Observe también que f (x) es continua en todo su dominio (0, infinito) yf (x) <0 para 0 <x 0 para x> 1.
3. Concluimos que por cada x en el intervalo (1, e) hay una y única en (e, infinito) tal que f (x) = f (y) y viceversa, por cada x en (e, infinito) hay una y única en (1, e) st f (x) = f (y), y siempre x es diferente de y.
4. A medida que x aumenta de 1 a infinito, la correspondiente y satisfactoria f (y) = f (x) disminuye de infinito a 1, y solo para x = e obtenemos y = e = x.
5. Por lo tanto, la ecuación x ^ (- y) = y ^ (- x) se resuelve mediante la solución trivial explícita x = y y también mediante una solución implícita y = y (x), 1 <x <infinito, que satisface y ( 2) = 4, y (e) = e e y (4) = 2. Es su propio inverso: y (y (x) = x por cada x en (1, infinito) y está disminuyendo estrictamente. Las dos soluciones se cruzan entre sí solo en x = y = e.

Answer 2

La solución de Alon de x = 2, y = 4 se conecta a una rama de soluciones lejos de x = y.

Estas asíntotas cuando x se hace grande a y = 1 o viceversa (es simétrica en x e y). Entonces, estableciendo [math] y = 1+ \ epsilon [/ math],

[matemáticas] y ^ {- x} = (1+ \ epsilon) ^ {- x} \ rightarrow 1- x \ epsilon [/ math]

[matemáticas] x ^ {- y} x ^ {- (1+ \ epsilon)} \ rightarrow x ^ {- 1} [/ matemáticas]

Entonces,

[matemáticas] \ epsilon = \ frac {1} {x-1} [/ matemáticas]

y

[matemáticas] y \ simeq 1 + \ frac {1} {x-1}. [/ matemáticas]

Un gráfico que puede obtener de muchos programas aquí es uno: los meneos y la brecha no son reales.

Answer 3

No sé lo que consideras “no trivial”, pero

[matemáticas] 4 ^ {- 2} = 2 ^ {- 4} [/ matemáticas].