¿Cuál es la solución general para [matemáticas] \ frac {dy} {dx} = \ frac {6x ^ 2-2x} {2y-x} [/ matemáticas], y la solución particular en [matemáticas] (0,0) [/matemáticas]?

Answer 1

¿Cuál es la solución particular para [matemáticas] \ frac {dy} {dx} = \ frac {6x ^ 2–2x} {2y − x} [/ matemáticas] en [matemáticas] (0,0) [/ matemáticas]

Con base en los comentarios en respuesta a las otras dos respuestas (mientras escribo esto), supongo que la intención de esta solicitud es:

Resuelva [matemáticas] \ frac {dy} {dx} = \ frac {6x ^ 2–2x} {2y − x} [/ matemáticas] con la condición inicial [matemáticas] y (0) = 0 [/ matemáticas].

La respuesta corta es que no existe una solución única que satisfaga esa condición.

Se garantizan soluciones únicas para problemas de valor inicial de primer orden cuando el DE satisface los requisitos del teorema de Picard-Lindelöf (a menudo denominado por el nombre más descriptivo “Teorema de existencia y unicidad” [EUT]). El enlace de Wikipedia en la oración anterior da la versión detallada; una versión un poco más simple se encuentra en Existence and Uniqueness (sosmath.com).

Cualquiera sea la versión del EUT que se intente aplicar, este DE no cumple la hipótesis porque [math] \ frac {6x ^ 2–2x} {2y − x} [/ math] no está definido en [math] (0,0 )[/matemáticas]. Sin embargo, podría encontrar una solución única para [math] y (x_0) = y_0 [/ math] proporcionada [math] 2y_0 \ ne x_0 [/ math].

Aquí hay alguna evidencia visual que muestra por qué no hay una solución única: un campo de pendiente * para este DE cerca del punto [matemático] (0,0) [/ matemático], junto con soluciones aproximadas correspondientes a la condición inicial [matemática] \ color {rojo} {y (0) = 0.01} [/ matemática] y [matemática] \ color {verde} {y (0.01) = 0} [/ matemática].

Ambas curvas de solución “entran en espiral” a [matemática] (0,0) [/ matemática] – de hecho (creo) que cada curva de solución lo haría.

Puede jugar con este sistema usted mismo en esta página web: Campos de pendiente y dirección para ecuaciones diferenciales

* En realidad, esta imagen muestra un campo de dirección para el sistema equivalente [matemática] x ‘= x-2y [/ matemática], [matemática] y’ = 2x-6x ^ 2 [/ matemática]. Por razones técnicas, esto produjo una mejor vista de las soluciones aproximadas que el campo de pendiente para el DE original.

Answer 2

Como en el punto (0,0) tanto el nominador como el denominador en el lado derecho son iguales a cero, intentemos usar la regla de l’Hôpital:

[matemáticas] \ frac {dy} {dx} \ left. \ right | _ {x = 0} = \ lim_ {x \ rightarrow0} \ frac {6x ^ {2} -2x} {2y (x) -x} = \ lim_ {x \ rightarrow0} \ frac {12x-2} {2 \ frac {dy} {dx} -1} = \ frac {-2} {2y ‘(0) -1} [/ math]

Ahora tenemos una ecuación cuadrática en [matemáticas] y ‘(0) [/ matemáticas] con dos soluciones

[matemática] y ‘(0) = \ frac {1 \ pm i \ sqrt {15}} {4} [/ matemática]

Básicamente, esto significa que necesita más datos para encontrar una solución en particular.

Answer 3

Esto depende de cómo abordes el problema. Si intentas resolver

[matemáticas] \ lim_ {y \ rightarrow0} \ lim_ {x \ rightarrow0} \ frac {6x ^ {2} -2x} {2y-x} = \ lim_ {x \ rightarrow0} \ frac {6x ^ {2} – 2x} {- x} = \ lim_ {x \ rightarrow0} {- 6x + 2} = 0 [/ math]

Sin embargo, acércate desde el límite de x primero y parece que obtienes el mismo resultado. No creo que acercarse desde -0 tampoco haga una diferencia aquí.

[matemáticas] \ lim_ {x \ rightarrow0} \ lim_ {y \ rightarrow0} \ frac {6x ^ {2} -2x} {2y-x} = \ lim_ {x \ rightarrow0} \ frac {0} {2y} = 0 [/ matemáticas]

Dejenos considerar

[matemáticas] \ lim_ {y \ rightarrow x} \ lim_ {x \ rightarrow0} \ frac {6x ^ {2} -2x} {2y-x} = \ lim_ {x \ rightarrow0} \ frac {6x ^ {2} -2x} {2x-x} = \ lim_ {x \ rightarrow0} {6x + 2} = 0 [/ matemática]

[matemáticas] \ lim_ {x \ rightarrow y} \ lim_ {y \ rightarrow0} \ frac {6y ^ {2} -2y} {2y-y} = 0 [/ math] como arriba