Una gráfica tiene una ecuación de [matemática] y ^ 3-x ^ 3 = xy ^ 2. [/ matemática] ¿Cuál es el gradiente de la tangente donde la gráfica se cruza con [matemática] y = x [/ matemática]?

Answer 1

Esta “contradicción” se reduce a [math] \ frac 00 [/ math] siendo una forma indeterminada.

Observe que no hay nada especial acerca de la condición [matemáticas] y = x [/ matemáticas] aquí. ¿Qué sucede si en cambio encuentra el gradiente en la intersección de la curva original con [math] y = kx [/ math] (para cualquier número real [math] k [/ math])? Entonces obtienes

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {dy} {dx} = \ frac {1 + 3k ^ 2} {3-2k} [/ matemáticas].

Pero, por supuesto, todas estas líneas (excepto una) se cruzan con la curva original solo en el origen.

Nada de esto debería ser sorprendente. Ya sabemos que si tiene un formulario [math] \ frac 00 [/ math], las tasas a las que se aproximan el numerador y el denominador [math] 0 [/ math] son ​​importantes.

Todo lo que esto significa es que necesita un mejor método para determinar el gradiente en el origen. Y David ha provisto eso.

Answer 2

Considere la ecuación con la que comienza: [matemáticas] y ^ 3-x ^ 3 = xy ^ 2 [/ matemáticas].

Es una ecuación homogénea ya que cada uno de sus términos es de grado 3. Eso significa que si [math] (x, y) [/ math] es una solución, entonces [math] (tx, ty) [/ math] es otra solución. En particular, [matemáticas] (0,0) [/ matemáticas] es una solución

Cuando [math] x = 1 [/ math], puede mostrar que la ecuación [math] y ^ 3–1 = y ^ 2 [/ math] tiene exactamente una solución real. Llámelo [math] y = b [/ math], que es aproximadamente [math] 1.47 [/ math]

Entonces [math] (1, b) [/ math] es la única solución de [math] y ^ 3-x ^ 3 = xy ^ 2 [/ math] cuando [math] x = 1 [/ math]. El resto de las soluciones son múltiplos de la misma. Entonces, la solución general de [matemáticas] y ^ 3-x ^ 3 = xy ^ 2 [/ matemáticas] es [matemáticas] (x, bx) [/ matemáticas]. ¡La ecuación es una línea recta! Su pendiente en cualquier lugar es [matemáticas] b [/ matemáticas].

En general, el gráfico de cualquier ecuación homogénea es una colección de líneas rectas a través del origen.

Aquí hay una foto de lo que está pasando. La ecuación cúbica homogénea está graficada en rosa, la línea [matemáticas] y = x [/ matemáticas] está graficada en azul.

Answer 3

un boceto del gráfico cúbico muestra que corta a través del origen como un punto de inflexión. y = x también es tangible en este punto. SO Gradient es solo el gradiente de la línea recta y = x, es decir, m = 1