¿Qué tiene de malo la pedagogía de ecuaciones diferenciales?

Answer 1

La mayoría de las clases de ecuaciones diferenciales tienen muy poca carne. Aprendes qué son las ecuaciones diferenciales y un poco sobre su comportamiento. Le dicen que son muy útiles en las aplicaciones, y probablemente vea algunas aplicaciones muy simples durante todo el semestre ( por ejemplo, la ecuación logística para la dinámica de la población). Aparte de eso, ¿qué haces? Aprendes a resolver ecuaciones diferenciales. Esto no suena tan mal. Después de todo, el cálculo elemental implica principalmente tomar límites, derivadas, integrales y expansiones de Taylor, ¿verdad? Bueno, tal vez eso sea cierto hasta cierto punto, pero también es un problema con cómo se enseña el cálculo. Lo que distingue las ecuaciones diferenciales es que recibe mucha menos explicación y otras enseñanzas.

Se le presentan métodos, generalmente sin pruebas, que parecen extraños y arbitrarios, y así es como va el curso durante todo el trimestre. Aprende a resolver ecuaciones diferenciales de primer orden la mitad de una docena de maneras, luego aprende a resolver ecuaciones diferenciales de segundo orden a través de algunos métodos, incluido el uso de estas cosas extrañas llamadas transformadas de Laplace. Ni siquiera se le indica cómo se podría reconocer cuándo usar ciertos métodos. Simplemente lo intentas todo y te guías por tu propia intuición desarrollada, que se forma mientras haces problemas de práctica. En muchos sentidos, las ecuaciones diferenciales, como se enseña comúnmente en los Estados Unidos a estudiantes de pregrado, no es un curso de matemáticas sino un curso de métodos matemáticos. La mayoría de los estudiantes no salen realmente entendiendo las ecuaciones diferenciales, pero sí son capaces de resolver las bonitas a través de uno o más de una docena de métodos, tal vez apliquen algunos métodos numéricos a los feos (tal vez incluso usando Matlab u otro herramienta), y use ecuaciones diferenciales para resolver algunos problemas aplicados en biología, física, etc.

Para los ingenieros, uno podría pensar que está bien no entender los detalles, y nunca sugeriría que estos estudiantes necesiten poder probar cada pequeña cosa con todo detalle, o incluso probar algo, pero no estoy de acuerdo en que salga sin La comprensión real de cómo se comportan las ecuaciones diferenciales y cómo funcionan los métodos de solución es ideal. Es solo con este entendimiento que uno puede solucionar adecuadamente los errores, ver por qué algunos métodos son mejores para probar que otros, y así sucesivamente. Esto es importante tanto para los ingenieros como para los matemáticos. Idealmente, los estudiantes de matemáticas verán pruebas, sin embargo, incluso si no fuera por cada teorema, en general o con rigor completo (lo que sería difícil en la etapa de su carrera, de todos modos toman un primer curso sobre ecuaciones diferenciales ordinarias).

Para ser claros, hay cursos bien enseñados sobre este material, pero el ejemplo por excelencia de un curso introductorio de ecuaciones diferenciales universitarias no demuestra calidad.

Answer 2

No estoy seguro. La mayoría de los estudiantes que van a usar ecuaciones diferenciales no solo toman ecuaciones diferenciales, ya que tal vez las otras personas sugieren que en realidad terminan tomando PDE 1 y 2. Álgebra lineal y cursos numéricos. Los cursos por sí mismos no son del todo interesantes y la teoría de ecuaciones diferenciales con sus pruebas no se enseña en niveles inferiores ni es necesaria. Requiere mucho análisis. Algunos de ellos son ingenieros, toman cursos de dinámica de fluidos y límites. Sería difícil decir que no los entienden.

Creo que las EDO innatas son una gran cantidad de trabajo y muchas personas no ven la aplicación, sin embargo, si toma PDE y clases de análisis numérico y álgebra lineal numérica o análisis funcional, entonces comprende algo del significado. Es una pregunta similar en cuanto a por qué las clases de cálculo son pobres. Bueno, no estaban destinados a ser enseñados solos. Hay 8 clases de cálculo en matemáticas de pregrado.

Nadie gana el pleno respeto y comprensión de un tema en la primera vuelta.
Cualquiera que tomara calc 1 y dejara de tomar cálculo pensaría que el cálculo es bastante inútil.

En parte, la pedagogía debe ser con respecto a sus estudiantes, sus intereses y el tema. En mi clase de PDE, cubrimos el material, sin embargo, para ilustrar algo como la continuidad o temas más avanzados, mi profesor usa demostraciones informáticas que son visuales. Esto puede ser atractivo para estudiantes de ingeniería u otros. Es para mí, me gusta la numérica. Su área es numérica y podemos tocarla. Realmente la pedagogía es mitad cubriendo el material y mitad inspirando a los estudiantes. Revisaremos soluciones numéricas para PDEs y una parte intrínsecamente interesante es singularidades y mallas en diferentes geometrías. pasamos semanas cubriendo rectángulos, esferas y otras cosas, y no si solo tenemos una región amorfa. La teoría aún se aplica y es útil, pero también hay problemas numéricos.

El problema inherente es llegar a todos los estudiantes y las ecuaciones diferenciales en realidad se enseñan a los ingenieros (todos ellos), estudiantes de CS, estudiantes de matemáticas, estudiantes de física y algunos otros y las personas todavía están bastante maduras y no pueden hacer tanto. A medida que avanza la gente mejora y refina sus habilidades para que los problemas con la pedagogía cambien.

Answer 3

Creo que hay algunas razones por las cuales DE tiende a ser un desafío para algunos.

Primero, muchas escuelas adoptan un enfoque basado en aplicaciones que parece extraño para un estudiante de matemáticas. Puede tratarse como matemática pura, pero a menudo muchos de los estudiantes son estudiantes de ingeniería u otras ciencias y tiende a adaptarse a la mayoría de los estudiantes. Por lo tanto, un estudiante acostumbrado a los cursos de matemáticas puede no sentirse cómodo con la intuición física que se espera.

En segundo lugar, es uno de esos campos de las matemáticas donde solo sabemos cómo resolver analíticamente algunos tipos de DE. Muchas clases no se centran en métodos numéricos, por lo que terminas marchando a través de un conjunto aparentemente disjunto de casos específicos que alguien ha pensado cómo resolver. Algunos cada vez más difíciles de intuir.

En una buena clase, se le recordará muchas veces este problema y tal vez se le presente a los sistemas no lineales y algunas técnicas numéricas. En general, DE es un negocio desordenado, lleno de matemáticas realmente interesantes y complicadas, pero todas las cosas interesantes están un poco por encima de una zona de confort de ingeniería de 200 niveles, por lo que queda fuera.

Espero que eso ayude un poco.

Answer 4

Sé un poco sobre matemáticas pero no sobre pedagogía. Jajaja