[matemática] y \ text {d} x + (x + x ^ 2y) \ text {d} y = 0 [/ math]
[matemáticas] \ implica y \ dfrac {\ text {d} x} {\ text {d} y} + x + x ^ 2y = 0 [/ matemáticas]
[matemáticas] \ implica \ dfrac {\ text {d} x} {\ text {d} y} + \ dfrac {x} {y} = -x ^ 2 [/ matemáticas]
Observe que la ecuación anterior es de forma, [matemática] x ‘+ P (y) * x = Q (y) * x ^ n [/ matemática] que es una ecuación diferencial de Bernoulli.
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Tenga en cuenta que, aquí la variable dependiente es [math] \ mathbf {x} [/ math] mientras que la variable independiente es [math] \ mathbf {y} [/ math]
Aquí [matemática] P (y) = \ dfrac {1} {y} [/ matemática], [matemática] Q (y) = – 1 [/ matemática] y [matemática] n = 2 [/ matemática].
Ahora la ecuación diferencial anterior se puede escribir como,
[matemáticas] \ dfrac {1} {x ^ 2} \ dfrac {\ text {d} x} {\ text {d} y} + \ dfrac {1} {xy} = -1 [/ matemáticas]
[matemáticas] \ implica \ dfrac {\ text {d}} {\ text {d} y} \ left (\ dfrac {-1} {x} \ right) + \ left (\ dfrac {-1} {x} \ right) \ left (\ dfrac {-1} {y} \ right) = – 1 [/ math]
Ahora divida ambos lados entre [matemáticas] y [/ matemáticas]
[matemáticas] \ implica \ dfrac {1} {y} \ dfrac {\ text {d}} {\ text {d} y} \ left (\ dfrac {-1} {x} \ right) + \ left (\ dfrac {-1} {x} \ right) \ left (\ dfrac {-1} {y ^ 2} \ right) = \ dfrac {-1} {y} [/ math]
[matemáticas] \ implica \ dfrac {\ text {d}} {\ text {d} y} \ left (\ dfrac {-1} {xy} \ right) = \ dfrac {-1} {y} [/ math ]
Resolver la ecuación anterior da [matemáticas] \ boxed {x = \ dfrac {1} {y (\ ln y + \ mathcal {C})}} [/ math]