Cómo resolver el potencial eléctrico de esta ecuación, V (x) ” = k * (V (x)) ^ (-1/2)

Answer 1

La ecuación diferencial es [matemática] V ”(x) = \ frac {k} {\ sqrt {V (x)}} [/ matemática].

Multiplicamos cada lado con [matemática] V ‘(x) [/ matemática]: Entonces obtenemos [matemática] V ”V’ = k. \ Frac {V ‘} {\ sqrt {V}} [/ matemática].

Sabemos que [matemática] (V ‘^ 2 + constante)’ = 2 V ”V ‘[/ matemática] y [matemática] (k. \ Sqrt {V} + constante)’ = \ frac {kV ‘} {2 . \ sqrt {V}} [/ math], entonces:

[matemática] \ frac {1} {2} (2.V ‘^ 2) = 2.k. \ sqrt {V} + constante. [/ matemática]

[math] V ‘= \ sqrt {4.k. \ sqrt {V} + c_1} [/ math], donde [math] c_1 [/ math] es una constante [math]. [/ math]

Deje [math] \ sqrt {V} = y [/ math] luego [math] V = y ^ 2 [/ math], y [math] V ‘= 2y.y’ [/ math]

Sustituimos esos valores en la ecuación anterior: [math] 2y.y ‘= \ sqrt {4.k.y + c_1} [/ math]

Como [math] y ‘= \ frac {dy} {dx} [/ math] entonces [math] dx = \ frac {2.y} {\ sqrt {4.k.y + c_1}} [/ math]

let [math] u = y [/ math] y [math] v ‘= \ frac {1} {\ sqrt {4.k.y + c_1}} [/ math], entonces [math] v = \ frac { 1} {2.k} \ sqrt {4.k.y + c_1} + c_2, [/ math] c_2 es ​​una constante.

[matemáticas] x = \ int \ frac {2.y} {\ sqrt {4.k.y + c_1}} dx = 2. (uv- \ int u’v dy) [/ math]

[matemáticas] = 2. (y. (\ frac {1} {2.k} \ sqrt {4.k.y + c_1} + c_2) – \ int (\ frac {1} {2.k} \ sqrt {4.k.y + c_1} + c_2) dy). [/ Math]

[matemáticas] = 2. (y. (\ frac {1} {2.k} \ sqrt {4.k.y + c_1} + c_2) – \ frac {1} {12.k ^ 2} \ sqrt [ \ frac {3} {2}] {4.k.y + c_1} -c_2.y + c_3). [/ math] c_3 es una constante.

desde [math] \ sqrt {V} = y [/ math] entonces

[matemáticas] x = [/ matemáticas] [matemáticas] 2.. (\ sqrt {V}. (\ frac {1} {2.k} \ sqrt {4.k. \ sqrt {V} + c_1} + c_2) – \ frac {1} {12.k ^ 2} \ sqrt [\ frac {3} {2}] {4.k. \ sqrt {V} + c_1} -c_2. \ Sqrt {V} + c_3). [/matemáticas]

Es una función implícita.

Answer 2

Reescribiré la ecuación en términos de [matemáticas] k [/ matemáticas] y [matemáticas] V [/ matemáticas] solamente, y sé que [matemáticas] V [/ matemáticas] es una función de [matemáticas] x [/ matemáticas ]

[matemáticas] V ” = \ dfrac {k} {\ sqrt {V}} [/ matemáticas]

Usaremos el método de reducción de orden aquí. Como x falta, dejamos que [math] V ‘= P [/ math], para obtener [math] V’ ‘= P \ dfrac {dP} {dV} [/ math]

Entonces la ecuación puede reescribirse en la siguiente forma

[matemáticas] P \ dfrac {dP} {dV} = \ dfrac {k} {\ sqrt {V}} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica \ displaystyle \ int P \, dP = \ int \ dfrac {k} {\ sqrt {V}} \, dV [/ math]

[matemáticas] \ implica \ dfrac {P ^ 2} {2} = 2k \ sqrt {V} + C [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica P = \ sqrt {4k \ sqrt {V} + 2C} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica \ dfrac {dV} {dx} = \ sqrt {4k \ sqrt {V} + 2C} [/ matemáticas]