La diferenciación, la búsqueda de derivados y el cálculo diferencial tienen numerosas aplicaciones:
La diferenciación tiene aplicaciones en casi todas las disciplinas cuantitativas. Por ejemplo, en física, la derivada del desplazamiento de un cuerpo en movimiento con respecto al tiempo es la velocidad del cuerpo, y la derivada de la velocidad con respecto al tiempo es la aceleración. La derivada del impulso de un cuerpo es igual a la fuerza aplicada al cuerpo; reorganizar esta declaración derivada conduce a la famosa ecuación F = m asociada con la segunda ley de movimiento de Newton. La velocidad de reacción de una reacción química es un derivado. En la investigación de operaciones, los derivados determinan las formas más eficientes de transportar materiales y diseñar fábricas.
Los derivados se usan con frecuencia para encontrar los máximos y mínimos de una función. Las ecuaciones que involucran derivados se llaman ecuaciones diferenciales y son fundamentales para describir los fenómenos naturales. Los derivados y sus generalizaciones aparecen en muchos campos de las matemáticas, como el análisis complejo, el análisis funcional, la geometría diferencial, la teoría de la medida y el álgebra abstracta.
Fuente: cálculo diferencial
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- ¿Qué tiene de malo la pedagogía de ecuaciones diferenciales?
- Una gráfica tiene una ecuación de [matemática] y ^ 3-x ^ 3 = xy ^ 2. [/ matemática] ¿Cuál es el gradiente de la tangente donde la gráfica se cruza con [matemática] y = x [/ matemática]?
- ¿Cuál es la solución general para [matemáticas] \ frac {dy} {dx} = \ frac {6x ^ 2-2x} {2y-x} [/ matemáticas], y la solución particular en [matemáticas] (0,0) [/matemáticas]?
- Cómo resolver [matemáticas] 4x ^ 3 + 3x ^ 2 + 2x + 3 = 0
Aquí hay algunos ejemplos explicativos de aplicaciones:
Tangentes y normales que son importantes en física (p. Ej., Fuerzas en un automóvil que dobla una esquina).
Método de Newton: para esas ecuaciones difíciles que no puedes resolver usando álgebra.
Movimiento curvilíneo, que muestra cómo encontrar la velocidad y la aceleración de un cuerpo que se mueve en una curva.
Tasas relacionadas: donde 2 variables cambian con el tiempo y existe una relación entre las variables.
Bosquejo de curvas usando la diferenciación, donde comenzamos a aprender a modelar el comportamiento de las variables.
Problemas máximos y mínimos aplicados, que es una aplicación vital de diferenciación.
Radio de curvatura, que muestra cómo una curva es casi parte de un círculo en una región local.
Diferenciación de funciones trascendentales, que muestra cómo encontrar derivadas de funciones seno, coseno, exponenciales y tangenciales.
Integración, que en realidad es lo opuesto a la diferenciación.
Ecuaciones diferenciales, que son un tipo diferente de problema de integración, pero aún implican diferenciación.
Fuente: Aplicaciones de diferenciación
Las aplicaciones adicionales de diferenciación incluirían:
- Diferenciales
- El teorema del valor medio:
En matemáticas, el teorema del valor medio establece, más o menos, que dado un arco plano entre dos puntos finales, hay al menos un punto en el que la tangente al arco es paralela a la secante a través de sus puntos finales.
El teorema se usa para probar afirmaciones globales sobre una función en un intervalo a partir de hipótesis locales sobre derivadas en puntos del intervalo.
Más precisamente, si una función [math] {\ displaystyle f} [/ math] es continua en el intervalo cerrado [math] {\ displaystyle [a, b]} [/ math], donde [math] {\ displaystyle a < b} [/ math], y diferenciable en el intervalo abierto [math] {\ displaystyle (a, b)} [/ math], entonces existe un punto [math] {\ displaystyle c} [/ math] en [math ] {\ displaystyle (a, b)} [/ math] tal que:
[matemáticas] {\ displaystyle f ‘(c) = {\ frac {f (b) -f (a)} {ba}}.} [/ matemáticas]
- Optimización matemática
- La regla de L’Hôpital:
La regla de L’Hôpital establece que para las funciones fyg que son diferenciables en un intervalo abierto I, excepto posiblemente en un punto c contenido en I , si
[matemáticas] {\ displaystyle \ lim _ {x \ to c} f (x) = \ lim _ {x \ to c} g (x) = 0 {\ text {or}} \ pm \ infty,} [/ matemáticas]
[matemáticas] {\ displaystyle g ‘(x) \ neq 0} [/ matemáticas] para todas las x en I con x ≠ c , y
[math] {\ displaystyle \ lim _ {x \ to c} {\ frac {f ‘(x)} {g’ (x)}}} [/ math] existe, entonces
[matemáticas] {\ displaystyle \ lim _ {x \ to c} {\ frac {f (x)} {g (x)}} = \ lim _ {x \ to c} {\ frac {f ‘(x) } {g ‘(x)}}.} [/ math]
La diferenciación del numerador y el denominador a menudo simplifica el cociente o lo convierte en un límite que puede evaluarse directamente.
- Diferenciación implícita .
Para algunas aplicaciones prácticas, consulte el siguiente enlace:
Ejemplos de cálculo | Aplicaciones de diferenciación