Aquí hay un ejemplo simple que ilustra el principio mencionado por Cameron Rudderham en su respuesta.
Considere la ecuación diferencial que determina el aumento o la disminución de la cantidad que debe en un préstamo, tomando el tiempo [matemáticas] t [/ matemáticas] como una variable continua. Cuando enseñé a estudiantes universitarios, descubrí que eran más rápidos para comprender ejemplos de ecuaciones diferenciales como este sobre dinero en lugar de problemas de física, por ejemplo.
Usted paga el préstamo por un monto [matemático] b [/ matemático] por período de tiempo, y el interés por monto adeudado por período de tiempo es [matemático] a [/ matemático]. En el momento inicial cero, la cantidad adeudada es [matemática] y_0 [/ matemática]. La cantidad adeudada [matemática] y [/ matemática] cambia de acuerdo con la ecuación diferencial de primer orden no homogénea
[matemáticas] \ displaystyle \ frac {dy} {dt} = ay – b [/ matemáticas],
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y la condición inicial es [matemática] y (0) = y_0 [/ matemática]. Cuando la tasa de reembolso equilibra la tasa de interés, la suma adeudada no cambia y la ecuación diferencial se reduce a [matemática] 0 = ay – b [/ matemática], con la solución [matemática] y (t) = b / a [/ matemáticas]. Obviamente, este es el caso especial de “interés solamente”, una solución particular con la condición inicial [matemática] y (0) = b / a [/ matemática] y la cantidad adeudada que permanece sin cambios. ¿Qué pasa cuando la condición inicial es [matemáticas] y (0) = y_0 \ neq a / b [/ matemáticas]?
La solución a la ecuación homogénea es [matemática] y (t) = C \ exp (at) [/ matemática], donde [matemática] C [/ matemática] es una constante general. La solución general a la ecuación no homogénea es entonces
[matemática] \ displaystyle y (t) = C \ exp (at) + b / a [/ math],
y para satisfacer la condición inicial, debemos elegir un valor de [matemática] C [/ matemática] para satisfacer [matemática] y_0 = C + b / a [/ matemática], o [matemática] C = y_0 – b / a [ /matemáticas]. La solución al problema del valor inicial es entonces
[matemática] \ displaystyle y (t) = (y_0 – b / a) \ exp (at) + b / a [/ math].
Esto muestra que la cantidad adeudada disminuye si [matemática] y_0 b / a [/ matemáticas].
Podemos escribir el problema en términos de variables adimensionales [matemática] T = en [/ math] el tiempo adimensional, [math] Y = y / y_0 [/ math] la cantidad adimensional adeudada, y [math] B = b / ( ay_0) [/ math] la tasa de pago adimensional. La solución adimensional es
[matemáticas] \ displaystyle Y (T) = (1 – B) \ exp (T) + B, [/ matemáticas]
y la solución de “solo interés” es [matemática] B = 1, Y = 1 [/ matemática], y [matemática] B> 1 [/ matemática] da una cantidad decreciente adeudada, [matemática] B <1 [/ matemática] una cantidad creciente La figura muestra los cuatro casos [matemática] B = 0.99, 1, 1.025, 1.05 [/ matemática].